2次方程式 $x^2 - ax + 2a^2 - 8 = 0$ が $x=3$ を解にもつような定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - ax + 2a^2 - 8 = 0$ が $x=3$ を解にもつような定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x=3$ が解であるから、方程式に代入する。

$3^2 - a(3) + 2a^2 - 8 = 0$

$9 - 3a + 2a^2 - 8 = 0$

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

この2次方程式を解く。

$(2a - 1)(a - 1) = 0$

$a = \frac{1}{2}, 1$

ただし、$a$ の小さい順にア、イとするので、アが $\frac{1}{2}$、イが $1$ である。

(2) $a = \frac{1}{2}$ のとき、方程式は

$x^2 - \frac{1}{2}x + 2(\frac{1}{2})^2 - 8 = 0$

$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} - 8 = 0$

$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{15}{2} = 0$

$2x^2 - x - 15 = 0$

$(2x + 5)(x - 3) = 0$

$x = -\frac{5}{2}, 3$

$x = 3$ 以外の解は $-\frac{5}{2}$ である。

$a = 1$ のとき、方程式は

$x^2 - x + 2(1)^2 - 8 = 0$

$x^2 - x + 2 - 8 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

$x = 3$ 以外の解は $-2$ である。

3. 最終的な答え

(1)

ア: $\frac{1}{2}$

イ: $1$

(2)

$a = \frac{1}{2}$ のとき、他の解は $x = -\frac{5}{2}$

$a = 1$ のとき、他の解は $x = -2$