2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を解とする2次方程式が $x^2 + 2ax + b + 2 = 0$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を解とする2次方程式が $x^2 + 2ax + b + 2 = 0$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + ax + b = 0$ について、解と係数の関係より、

\begin{align*}

\alpha + \beta &= -a \\

\alpha \beta &= b

\end{align*}

次に、$x^2 + 2ax + b + 2 = 0$ について、解と係数の関係より、

\begin{align*}

(\alpha + \beta) + (\alpha \beta) &= -2a \\

(\alpha + \beta) (\alpha \beta) &= b + 2

\end{align*}

$\alpha + \beta = -a$ と $\alpha \beta = b$ を代入して、

\begin{align*}

-a + b &= -2a \\

-ab &= b + 2

\end{align*}

1つ目の式より、$b = -a$ が得られる。

これを2つ目の式に代入して、

\begin{align*}

-a(-a) &= -a + 2 \\

a^2 &= -a + 2 \\

a^2 + a - 2 &= 0 \\

(a + 2)(a - 1) &= 0

\end{align*}

よって、$a = -2$ または $a = 1$ である。

$a = -2$ のとき、$b = -a = 2$ である。

$a = 1$ のとき、$b = -a = -1$ である。

したがって、$(a, b) = (-2, 2)$ または $(a, b) = (1, -1)$ である。

3. 最終的な答え

$(a, b) = (-2, 2), (1, -1)$