与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次のとおりです。 $\begin{pmatrix} 3 & -5 & 2 & 10 \\ 2 & 0 & 1 & -3 \\ -2 & 3 & 5 & 2 \\ 4 & -2 & -3 & 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次のとおりです。

$\begin{pmatrix}

3 & -5 & 2 & 10 \\

2 & 0 & 1 & -3 \\

-2 & 3 & 5 & 2 \\

4 & -2 & -3 & 2

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関して余因子展開を行うことができます。2行目の0に着目して、2行で余因子展開をすることにします。

行列式は次のようになります。

$det(A) = \sum_{j=1}^4 a_{2j}C_{2j} = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23} + a_{24}C_{24}$

ここで、$a_{ij}$は行列のi行j列の要素であり、$C_{ij}$はその要素の余因子です。

2行の要素は$a_{21} = 2, a_{22} = 0, a_{23} = 1, a_{24} = -3$ です。

$C_{21} = (-1)^{2+1}M_{21}$

$C_{22} = (-1)^{2+2}M_{22}$

$C_{23} = (-1)^{2+3}M_{23}$

$C_{24} = (-1)^{2+4}M_{24}$

ここで、$M_{ij}$は要素$a_{ij}$の小行列式です。

$M_{21} = \begin{vmatrix} -5 & 2 & 10 \\ 3 & 5 & 2 \\ -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = -5(10+6) - 2(6+4) + 10(-9+10) = -5(16) - 2(10) + 10(1) = -80 - 20 + 10 = -90$

$C_{21} = (-1)^{2+1}M_{21} = -(-90) = 90$

$M_{22} = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 10 \\ -2 & 5 & 2 \\ 4 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 3(10+6) - 2(-4-8) + 10(6-20) = 3(16) - 2(-12) + 10(-14) = 48 + 24 - 140 = -68$

$C_{22} = (-1)^{2+2}M_{22} = -68$

$M_{23} = \begin{vmatrix} 3 & -5 & 10 \\ -2 & 3 & 2 \\ 4 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 3(6+4) - (-5)(-4-8) + 10(4-12) = 3(10) + 5(-12) + 10(-8) = 30 - 60 - 80 = -110$

$C_{23} = (-1)^{2+3}M_{23} = -(-110) = 110$

$M_{24} = \begin{vmatrix} 3 & -5 & 2 \\ -2 & 3 & 5 \\ 4 & -2 & -3 \end{vmatrix} = 3(-9+10) - (-5)(6-20) + 2(4-12) = 3(1) + 5(-14) + 2(-8) = 3 - 70 - 16 = -83$

$C_{24} = (-1)^{2+4}M_{24} = -83$

行列式は：

$det(A) = 2(90) + 0(-68) + 1(110) + (-3)(-83) = 180 + 0 + 110 + 249 = 539$

3. 最終的な答え

539