放物線 $y = 3x^2 + 7x - 10$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 3x^2 + 7x - 10$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

平行移動の公式を用いる。

$x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動する場合、$x$ を $x-p$ に、$y$ を $y-q$ に置き換える。

今回の問題では、$p = 2$, $q = -3$ なので、$x$ を $x-2$ に、$y$ を $y-(-3) = y+3$ に置き換える。

元の式 $y = 3x^2 + 7x - 10$ を書き換えると、

$y + 3 = 3(x-2)^2 + 7(x-2) - 10$

となる。

これを $y$ について解けば、平行移動後の放物線の方程式が得られる。

まず、右辺を展開する。

$y + 3 = 3(x^2 - 4x + 4) + 7x - 14 - 10$

$y + 3 = 3x^2 - 12x + 12 + 7x - 24$

$y + 3 = 3x^2 - 5x - 12$

両辺から $3$ を引くと、

$y = 3x^2 - 5x - 15$

3. 最終的な答え

$y = 3x^2 - 5x - 15$