$a$と$b$を実数として、不等式 $\frac{a^2+b^2}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^2$ を証明せよ。

1. 問題の内容

$a$と$b$を実数として、不等式 $\frac{a^2+b^2}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^2$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を展開します。

$(\frac{a+b}{2})^2 = \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{a^2+2ab+b^2}{4}$

次に、不等式の両辺に4を掛けます。これにより、分数がなくなります。

$4 \cdot \frac{a^2+b^2}{2} \geq 4 \cdot \frac{a^2+2ab+b^2}{4}$

$2(a^2+b^2) \geq a^2+2ab+b^2$

左辺を展開します。

$2a^2 + 2b^2 \geq a^2 + 2ab + b^2$

不等式の両辺から $a^2+2ab+b^2$ を引きます。

$2a^2 + 2b^2 - (a^2 + 2ab + b^2) \geq 0$

$2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \geq 0$

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

$(a-b)^2 \geq 0$

実数 $a, b$ に対して $(a-b)^2$ は常に0以上なので、この不等式は常に成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{a^2+b^2}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^2$ は証明されました。