与えられた条件(i)〜(v)を満たす整数 $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3$ に対して、$P = 2a_1 + a_2 + 3a_3 + b_1 + 3b_2 + 2b_3$ と定義する。 (1) $b_1 + b_2 + b_3$ の値と、$P$ を $a_2$ で表した式を求める。 (2) $P$ の最大値と最小値を求め、最小値を与える整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3)$ の個数を求める。 (3) $P \le 125$ となる整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3)$ の個数を求める。 (4) 整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3)$ の総数を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件(i)〜(v)を満たす整数 $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3$ に対して、$P = 2a_1 + a_2 + 3a_3 + b_1 + 3b_2 + 2b_3$ と定義する。

(1) $b_1 + b_2 + b_3$ の値と、$P$ を $a_2$ で表した式を求める。

(2) $P$ の最大値と最小値を求め、最小値を与える整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3)$ の個数を求める。

(3) $P \le 125$ となる整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3)$ の個数を求める。

(4) 整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3)$ の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

条件(iii)(iv)(v)より、$b_1 = 38 - a_1$, $b_2 = 28 - a_2$, $b_3 = 20 - a_3$

$b_1 + b_2 + b_3 = (38 - a_1) + (28 - a_2) + (20 - a_3) = 86 - (a_1 + a_2 + a_3)$

条件(ii)より、$a_1 + a_2 + a_3 = 38$ であるから、

$b_1 + b_2 + b_3 = 86 - 38 = 48$

次に、$P$ を $a_2$ で表す。

$P = 2a_1 + a_2 + 3a_3 + b_1 + 3b_2 + 2b_3$

$P = 2a_1 + a_2 + 3a_3 + (38 - a_1) + 3(28 - a_2) + 2(20 - a_3)$

$P = 2a_1 + a_2 + 3a_3 + 38 - a_1 + 84 - 3a_2 + 40 - 2a_3$

$P = (2a_1 - a_1) + (a_2 - 3a_2) + (3a_3 - 2a_3) + 38 + 84 + 40$

$P = a_1 - 2a_2 + a_3 + 162$

条件(ii)より、$a_1 + a_2 + a_3 = 38$ より、$a_1 + a_3 = 38 - a_2$

したがって、$P = (38 - a_2) - 2a_2 + 162 = 200 - 3a_2$

(2)

$P = 200 - 3a_2$ より、$P$ が最大となるのは $a_2$ が最小のとき、$P$ が最小となるのは $a_2$ が最大のときである。

条件(i)より、$a_2 \ge 0$ であるから、$a_2 = 0$ のとき $P$ は最大値 $200$ をとる。

条件(ii)より、$a_1 + a_2 + a_3 = 38$ であり、かつ (iv) より $a_2 + b_2 = 28$ なので、$a_2$ の最大値は $a_2=28$　（$b_2 = 0$ の時）

よって、$P$ の最小値は $P = 200 - 3 \times 28 = 200 - 84 = 116$ である。

$P$ が最小となるとき、$a_2 = 28$ である。

このとき、$b_2 = 0$ である。

また、$a_1 + 28 + a_3 = 38$ より、$a_1 + a_3 = 10$

さらに、$a_1 + b_1 = 38$ より、$b_1 = 38 - a_1$

また、$a_3 + b_3 = 20$ より、$b_3 = 20 - a_3$

$a_1 + a_3 = 10$ で、$a_1$ と $a_3$ は非負整数であるから、$a_1$ の値は $0, 1, 2, \dots, 10$ の11通りある。

したがって、$P$ が最小となる整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3)$ は 11 通りである。

(3)

$P \le 125$ となる条件を考える。

$200 - 3a_2 \le 125$

$75 \le 3a_2$

$25 \le a_2$

したがって、$a_2$ は $25, 26, 27, 28$ のいずれかである。

・$a_2 = 25$ のとき、$a_1 + a_3 = 38 - 25 = 13$。$a_1$ は $0$ から $13$ までの14通り。

・$a_2 = 26$ のとき、$a_1 + a_3 = 38 - 26 = 12$。$a_1$ は $0$ から $12$ までの13通り。

・$a_2 = 27$ のとき、$a_1 + a_3 = 38 - 27 = 11$。$a_1$ は $0$ から $11$ までの12通り。

・$a_2 = 28$ のとき、$a_1 + a_3 = 38 - 28 = 10$。$a_1$ は $0$ から $10$ までの11通り。

したがって、全部で $14 + 13 + 12 + 11 = 50$ 通りである。

(4)

$a_1 + a_2 + a_3 = 38$ であり、$a_1, a_2, a_3$ は非負整数である。

これは38個の区別できないものを3つの区別できる箱に入れる場合の数に等しい。

したがって、その総数は ${38 + 3 - 1 \choose 3 - 1} = {40 \choose 2} = \frac{40 \times 39}{2} = 20 \times 39 = 780$ 通りである。

3. 最終的な答え

(1) $b_1 + b_2 + b_3 = 48$ であり、$P = 200 - 3a_2$ である。

(2) $P$ の最大値は $200$, 最小値は $116$ であり、$P$ が最小となるときの整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3)$ は全部で $11$ 通りある。

(3) $P$ の値が125以下となるような整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3)$ は、全部で $50$ 通りある。

(4) 整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3)$ の総数は $780$ 通りである。