連立不等式 $-2x + 3 < x^2 \leq 3x + 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

連立不等式 $-2x + 3 < x^2 \leq 3x + 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立不等式を2つの不等式に分解します。

(1) $-2x + 3 < x^2$

(2) $x^2 \leq 3x + 1$

(1) の不等式を解きます。

$-2x + 3 < x^2$ を変形すると、

$0 < x^2 + 2x - 3$

$x^2 + 2x - 3 > 0$

$(x+3)(x-1) > 0$

したがって、$x < -3$ または $x > 1$ です。

(2) の不等式を解きます。

$x^2 \leq 3x + 1$ を変形すると、

$x^2 - 3x - 1 \leq 0$

$x^2 - 3x - 1 = 0$ の解を求めます。

解の公式より、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

したがって、$x^2 - 3x - 1 \leq 0$ の解は、

$\frac{3 - \sqrt{13}}{2} \leq x \leq \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ です。

$x < -3$ または $x > 1$ と $\frac{3 - \sqrt{13}}{2} \leq x \leq \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ の共通範囲を求めます。

$\sqrt{13} \approx 3.6$ なので、

$\frac{3 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{3 - 3.6}{2} = \frac{-0.6}{2} = -0.3$

$\frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{3 + 3.6}{2} = \frac{6.6}{2} = 3.3$

したがって、$x < -3$ または $x > 1$ と $-0.3 \leq x \leq 3.3$ の共通範囲は、$1 < x \leq \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$1 < x \leq \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$