(1) $x$ の 2 次関数 $y = x^2 - mx + m$ (m は実数の定数) の最小値を $k$ とするとき、$k$ の最大値を求めよ。 (2) 実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x$ の 2 次関数 $y = x^2 - mx + m$ (m は実数の定数) の最小値を $k$ とするとき、$k$ の最大値を求めよ。

(2) 実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、2 次関数 $y = x^2 - mx + m$ を平方完成させます。

$y = (x - \frac{m}{2})^2 - (\frac{m}{2})^2 + m$

$y = (x - \frac{m}{2})^2 - \frac{m^2}{4} + m$

したがって、最小値 $k$ は $k = -\frac{m^2}{4} + m$ です。

次に、$k$ の最大値を求めます。$k$ を $m$ の関数として見て、平方完成させます。

$k = -\frac{1}{4}(m^2 - 4m) = -\frac{1}{4}(m^2 - 4m + 4 - 4) = -\frac{1}{4}((m-2)^2 - 4)$

$k = -\frac{1}{4}(m-2)^2 + 1$

したがって、$k$ の最大値は $1$ です。($m=2$ のとき)

(2)

条件 $x^2 + y^2 = 4$ より、$y^2 = 4 - x^2$ です。これを $4x + 2y^2$ に代入して、$x$ の関数にします。

$4x + 2y^2 = 4x + 2(4 - x^2) = 4x + 8 - 2x^2 = -2x^2 + 4x + 8$

$f(x) = -2x^2 + 4x + 8$ とします。$x^2 + y^2 = 4$ より、$-2 \le x \le 2$ です。

$f(x)$ を平方完成させます。

$f(x) = -2(x^2 - 2x) + 8 = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 8 = -2((x-1)^2 - 1) + 8$

$f(x) = -2(x-1)^2 + 2 + 8 = -2(x-1)^2 + 10$

したがって、$x = 1$ のとき、$f(x)$ は最大値 $10$ をとります。

このとき、$y^2 = 4 - x^2 = 4 - 1 = 3$ より、$y = \pm\sqrt{3}$ です。

また、$x = -2$ のとき、$f(x) = -2(-2-1)^2 + 10 = -2(9) + 10 = -18 + 10 = -8$ です。

$x = 2$ のとき、$f(x) = -2(2-1)^2 + 10 = -2(1) + 10 = 8$ です。

したがって、最小値は $x = -2$ のとき、$y = 0$ で、$-8$ です。

3. 最終的な答え

(1) $k$ の最大値: $1$

(2) 最大値: $10$ ($x = 1, y = \pm\sqrt{3}$ のとき)

最小値: $-8$ ($x = -2, y = 0$ のとき)