与えられた4x4行列の行列式を、第3行に沿った余因子展開を用いて計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & -5 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、第3行に沿った余因子展開を用いて計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix}

2 & 3 & -4 & -5 \\

3 & -2 & 1 & 0 \\

5 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 3 & -2 & 1

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を第3行に沿って余因子展開すると、以下のようになります。

$\det(A) = 5 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{33} + 2 \cdot C_{34}$

ここで、$C_{ij}$ は (i, j) 成分の余因子を表します。よって、

$\det(A) = 5 \cdot C_{31} + 2 \cdot C_{34}$

$C_{31}$ は (3, 1) 成分を取り除いた3x3行列の行列式に $(-1)^{3+1} = 1$ をかけたものです。

$C_{34}$ は (3, 4) 成分を取り除いた3x3行列の行列式に $(-1)^{3+4} = -1$ をかけたものです。

まず、$C_{31}$ を計算します。

$C_{31} = \det \begin{pmatrix}

3 & -4 & -5 \\

-2 & 1 & 0 \\

3 & -2 & 1

\end{pmatrix}$

サラスの方法を使うと：

$C_{31} = (3 \cdot 1 \cdot 1) + (-4 \cdot 0 \cdot 3) + (-5 \cdot -2 \cdot -2) - (3 \cdot 1 \cdot -5) - (-2 \cdot -4 \cdot 1) - (1 \cdot 0 \cdot 3) = 3 + 0 - 20 + 15 - 8 - 0 = -10$

次に、$C_{34}$ を計算します。

$C_{34} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix}

2 & 3 & -4 \\

3 & -2 & 1 \\

0 & 3 & -2

\end{pmatrix}$

サラスの方法を使うと：

$\det \begin{pmatrix}

2 & 3 & -4 \\

3 & -2 & 1 \\

0 & 3 & -2

\end{pmatrix} = (2 \cdot -2 \cdot -2) + (3 \cdot 1 \cdot 0) + (-4 \cdot 3 \cdot 3) - (0 \cdot -2 \cdot -4) - (3 \cdot 3 \cdot 2) - (-2 \cdot 1 \cdot 3) = 8 + 0 - 36 - 0 - 18 + 6 = -40$

$C_{34} = (-1) \cdot (-40) = 40$

したがって、

$\det(A) = 5 \cdot C_{31} + 2 \cdot C_{34} = 5 \cdot (-10) + 2 \cdot 40 = -50 + 80 = 30$

3. 最終的な答え

30