(a) $(3 - \frac{1}{2}x)^7$ の展開における5番目の項を求めなさい。 (b) $(x + x^{-\frac{1}{2}})^{12}$ の展開における9番目の項を求めなさい。

代数学二項定理展開多項式
2025/7/4

1. 問題の内容

(a) (312x)7(3 - \frac{1}{2}x)^7 の展開における5番目の項を求めなさい。
(b) (x+x12)12(x + x^{-\frac{1}{2}})^{12} の展開における9番目の項を求めなさい。

2. 解き方の手順

(a) 二項定理を用いて展開する。一般項は (nk)ankbk{n \choose k} a^{n-k} b^k である。
5番目の項は k=4k = 4 のときである。
n=7n = 7, a=3a = 3, b=12xb = -\frac{1}{2}x を代入する。
(74)(3)74(12x)4=(74)(3)3(12x)4{7 \choose 4} (3)^{7-4} (-\frac{1}{2}x)^4 = {7 \choose 4} (3)^3 (-\frac{1}{2}x)^4
(74)=7!4!3!=765321=35{7 \choose 4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35
(3)3=27(3)^3 = 27
(12x)4=116x4(-\frac{1}{2}x)^4 = \frac{1}{16}x^4
よって、5番目の項は 3527116x4=94516x435 \cdot 27 \cdot \frac{1}{16}x^4 = \frac{945}{16}x^4
(b) 二項定理を用いて展開する。一般項は (nk)ankbk{n \choose k} a^{n-k} b^k である。
9番目の項は k=8k = 8 のときである。
n=12n = 12, a=xa = x, b=x12b = x^{-\frac{1}{2}} を代入する。
(128)(x)128(x12)8=(128)x4x4{12 \choose 8} (x)^{12-8} (x^{-\frac{1}{2}})^8 = {12 \choose 8} x^4 x^{-4}
(128)=(124)=12!8!4!=12111094321=495{12 \choose 8} = {12 \choose 4} = \frac{12!}{8!4!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495
x4x4=x44=x0=1x^4 x^{-4} = x^{4-4} = x^0 = 1
よって、9番目の項は 4951=495495 \cdot 1 = 495

3. 最終的な答え

(a) 94516x4\frac{945}{16}x^4
(b) 495495

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