与えられた数列の漸化式から一般項 $a_n$ を求める問題です。問題文には3つの漸化式と、それぞれの解法が示されています。 (1) $a_{n+2}-3a_{n+1}-10a_n=0$ (2) $a_{n+2}-6a_{n+1}+5a_n=0$ (3) $a_{n+2}-8a_{n+1}+16a_n=0$

1. 問題の内容

与えられた数列の漸化式から一般項 $a_n$ を求める問題です。問題文には3つの漸化式と、それぞれの解法が示されています。

(1) $a_{n+2}-3a_{n+1}-10a_n=0$

(2) $a_{n+2}-6a_{n+1}+5a_n=0$

(3) $a_{n+2}-8a_{n+1}+16a_n=0$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた漸化式 $a_{n+2}-3a_{n+1}-10a_n=0$ を変形して、

$a_{n+2}+2a_{n+1} = 5(a_{n+1}+2a_n)$

$a_{n+2}-5a_{n+1} = -2(a_{n+1}-5a_n)$

を得ます。

これにより、数列 $\{a_{n+1}+2a_n\}$ は初項 $a_2+2a_1=4+2\cdot2=8$, 公比 $5$ の等比数列、

数列 $\{a_{n+1}-5a_n\}$ は初項 $a_2-5a_1=4-5\cdot2=-6$, 公比 $-2$ の等比数列となります。

したがって、

$a_{n+1}+2a_n = 8\cdot5^{n-1}$

$a_{n+1}-5a_n = -6\cdot(-2)^{n-1}$

これら2式から $a_{n+1}$ を消去すると、

$7a_n = 8\cdot5^{n-1} + 6\cdot(-2)^{n-1}$

よって、

$a_n = \frac{1}{7}\{8\cdot5^{n-1} + 6\cdot(-2)^{n-1}\}$

(2)

与えられた漸化式 $a_{n+2}-6a_{n+1}+5a_n=0$ を変形して、

$a_{n+2}-a_{n+1} = 5(a_{n+1}-a_n)$

を得ます。これにより、数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ は初項 $a_2-a_1=2-1=1$, 公比 $5$ の等比数列となります。

したがって、$a_{n+1}-a_n = 5^{n-1}$ となります。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 5^{k-1} = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 5^{k-1} = 1 + \frac{5^{n-1}-1}{5-1} = 1 + \frac{5^{n-1}-1}{4} = \frac{5^{n-1}+3}{4}$

これは $n=1$ のときも成り立ちます。

よって、$a_n = \frac{5^{n-1}+3}{4}$

(3)

与えられた漸化式 $a_{n+2}-8a_{n+1}+16a_n=0$ を変形して、

$a_{n+2}-4a_{n+1} = 4(a_{n+1}-4a_n)$

を得ます。これにより、数列 $\{a_{n+1}-4a_n\}$ は初項 $a_2-4a_1=8-4\cdot3=-4$, 公比 $4$ の等比数列となります。

したがって、$a_{n+1}-4a_n = -4\cdot4^{n-1} = -4^n$ となります。

両辺を $4^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{4^{n+1}} - \frac{a_n}{4^n} = -\frac{1}{4}$

$b_n = \frac{a_n}{4^n}$ とすると、$b_{n+1} - b_n = -\frac{1}{4}$ となります。

また、$b_1 = \frac{a_1}{4^1} = \frac{3}{4}$ です。

よって、数列 $\{b_n\}$ は初項 $\frac{3}{4}$, 公差 $-\frac{1}{4}$ の等差数列となります。

したがって、$b_n = \frac{3}{4} + (n-1)\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} - \frac{n-1}{4} = \frac{4-n}{4}$

$a_n = 4^n \cdot b_n$ であるから、

$a_n = 4^n \cdot \frac{4-n}{4} = 4^{n-1}(4-n)$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{1}{7}\{8\cdot5^{n-1} + 6\cdot(-2)^{n-1}\}$

(2) $a_n = \frac{5^{n-1}+3}{4}$

(3) $a_n = 4^{n-1}(4-n)$