(a) $(3 - \frac{1}{2}x)^7$ の展開における5番目の項を求めます。 (b) $(x + x^{-\frac{1}{2}})^{12}$ の展開における9番目の項を求めます。

1. 問題の内容

(a) $(3 - \frac{1}{2}x)^7$ の展開における5番目の項を求めます。

(b) $(x + x^{-\frac{1}{2}})^{12}$ の展開における9番目の項を求めます。

2. 解き方の手順

(a) 二項定理を使用します。一般項は

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

ここで、$n=7$, $a=3$, $b=-\frac{1}{2}x$ です。5番目の項は $k=4$ に対応します。したがって、

$$T_5 = \binom{7}{4} (3)^{7-4} (-\frac{1}{2}x)^4 = \binom{7}{4} (3)^3 (-\frac{1}{2})^4 x^4$$

$$T_5 = \frac{7!}{4!3!} \cdot 27 \cdot \frac{1}{16} x^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{27}{16} x^4 = 35 \cdot \frac{27}{16} x^4 = \frac{945}{16} x^4$$

(b) 二項定理を使用します。一般項は

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

ここで、$n=12$, $a=x$, $b=x^{-\frac{1}{2}}$ です。9番目の項は $k=8$ に対応します。したがって、

$$T_9 = \binom{12}{8} (x)^{12-8} (x^{-\frac{1}{2}})^8 = \binom{12}{8} (x)^4 (x^{-4}) = \binom{12}{8} x^4 x^{-4} = \binom{12}{8}$$

$$T_9 = \binom{12}{4} = \frac{12!}{8!4!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{12}{4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2) / (4 \cdot 3 \cdot 2) = \frac{11880}{24} = 495$$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{945}{16} x^4$

(b) $495$