与えられた4x4行列の行列式を、第3行に沿った余因子展開を用いて計算する問題です。 行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & -5 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、第3行に沿った余因子展開を用いて計算する問題です。

行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix}

2 & 3 & -4 & -5 \\

3 & -2 & 1 & 0 \\

5 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 3 & -2 & 1

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

第3行に沿った余因子展開を用いて行列式を計算します。

行列式をdet(A)とすると、

$det(A) = \sum_{j=1}^{4} a_{3j}C_{3j}$

ここで、$a_{3j}$は第3行のj列目の要素、$C_{3j}$は$(3,j)$余因子です。

$det(A) = a_{31}C_{31} + a_{32}C_{32} + a_{33}C_{33} + a_{34}C_{34}$

与えられた行列では、$a_{31} = 5, a_{32} = 0, a_{33} = 0, a_{34} = 2$なので、

$det(A) = 5C_{31} + 0C_{32} + 0C_{33} + 2C_{34} = 5C_{31} + 2C_{34}$

余因子$C_{31}$と$C_{34}$を計算します。

$C_{31} = (-1)^{3+1}M_{31} = M_{31}$

$M_{31}$は(3,1)小行列式で、これは元の行列から第3行と第1列を取り除いた3x3行列の行列式です。

$M_{31} = \begin{vmatrix}

3 & -4 & -5 \\

-2 & 1 & 0 \\

3 & -2 & 1

\end{vmatrix}$

サラスの公式を用いて計算します。

$M_{31} = (3)(1)(1) + (-4)(0)(3) + (-5)(-2)(-2) - (3)(1)(-5) - (-2)(0)(3) - (1)(-2)(-4)$

$M_{31} = 3 + 0 - 20 + 15 - 0 - 8 = -10$

よって、$C_{31} = -10$

次に、$C_{34}$を計算します。

$C_{34} = (-1)^{3+4}M_{34} = -M_{34}$

$M_{34}$は(3,4)小行列式で、これは元の行列から第3行と第4列を取り除いた3x3行列の行列式です。

$M_{34} = \begin{vmatrix}

2 & 3 & -4 \\

3 & -2 & 1 \\

0 & 3 & -2

\end{vmatrix}$

サラスの公式を用いて計算します。

$M_{34} = (2)(-2)(-2) + (3)(1)(0) + (-4)(3)(3) - (0)(-2)(-4) - (3)(1)(2) - (-2)(3)(3)$

$M_{34} = 8 + 0 - 36 - 0 - 6 + 18 = -16$

よって、$C_{34} = -(-16) = 16$

したがって、$det(A) = 5C_{31} + 2C_{34} = 5(-10) + 2(16) = -50 + 32 = -18$

3. 最終的な答え

-18