$(3 - \frac{1}{2}x)^{12}$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求める問題です。二項定理の一般項の式が与えられています。

1. 問題の内容

$(3 - \frac{1}{2}x)^{12}$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求める問題です。二項定理の一般項の式が与えられています。

2. 解き方の手順

二項定理の一般項を考えます。

$(a+b)^n$ の展開における一般項は、

$${}_nC_k a^{n-k} b^k$$

で表されます。

今回の問題では、$(3 - \frac{1}{2}x)^{12}$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求めるので、$n=12$, $a=3$, $b=-\frac{1}{2}x$ となります。

$x^4$ の項を得るためには、$b$ の指数が4になる必要があります。つまり、$k=4$ です。

よって、$x^4$ の項は、

$${}_{12}C_4 (3)^{12-4} (-\frac{1}{2}x)^4$$

$${}_{12}C_4 (3)^8 (-\frac{1}{2})^4 x^4$$

となります。

係数を計算します。

$${}_{12}C_4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$$

$$3^8 = 6561$$

$$(-\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$$

したがって、$x^4$ の項の係数は、

$$495 \times 6561 \times \frac{1}{16} = \frac{3247695}{16} = 202980.9375$$

3. 最終的な答え

$\frac{3247695}{16}$ あるいは $202980.9375$