与えられた4x4行列の行列式を、第3行に沿った余因子展開を用いて計算する問題です。行列は以下です。 $ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & -5 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、第3行に沿った余因子展開を用いて計算する問題です。行列は以下です。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 3 & -4 & -5 \\

3 & -2 & 1 & 0 \\

5 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 3 & -2 & 1

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

第3行に沿った余因子展開を行うため、以下の式を使用します。

$$

det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}C_{ij}

$$

ここで、$a_{ij}$ は行列Aのi行j列の要素、$C_{ij}$ は$a_{ij}$に対する余因子です。今回の問題では、i=3、n=4なので、以下のようになります。

$$

det(A) = a_{31}C_{31} + a_{32}C_{32} + a_{33}C_{33} + a_{34}C_{34}

$$

与えられた行列の第3行の要素は、 $a_{31}=5$, $a_{32}=0$, $a_{33}=0$, $a_{34}=2$ です。

したがって、

$$

det(A) = 5C_{31} + 0C_{32} + 0C_{33} + 2C_{34} = 5C_{31} + 2C_{34}

$$

次に余因子 $C_{31}$ と $C_{34}$ を計算します。

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} = M_{31}$, ここで$M_{31}$は行列Aから第3行と第1列を取り除いた3x3小行列の行列式です。

$$

M_{31} = det \begin{pmatrix}

3 & -4 & -5 \\

-2 & 1 & 0 \\

3 & -2 & 1

\end{pmatrix}

$$

$M_{31}$を計算します。

$$

M_{31} = 3(1*1 - 0*(-2)) - (-4)((-2)*1 - 0*3) + (-5)((-2)*(-2) - 1*3) \\

= 3(1) + 4(-2) - 5(4-3) = 3 - 8 - 5 = -10

$$

したがって、$C_{31} = -10$

次に余因子 $C_{34}$ を計算します。

$C_{34} = (-1)^{3+4} M_{34} = -M_{34}$, ここで$M_{34}$は行列Aから第3行と第4列を取り除いた3x3小行列の行列式です。

$$

M_{34} = det \begin{pmatrix}

2 & 3 & -4 \\

3 & -2 & 1 \\

0 & 3 & -2

\end{pmatrix}

$$

$M_{34}$を計算します。

$$

M_{34} = 2((-2)*(-2) - 1*3) - 3(3*(-2) - 1*0) + (-4)(3*3 - (-2)*0) \\

= 2(4-3) - 3(-6) - 4(9) = 2(1) + 18 - 36 = 2 + 18 - 36 = -16

$$

したがって、$C_{34} = -(-16) = 16$

最後に、行列式を計算します。

$$

det(A) = 5C_{31} + 2C_{34} = 5(-10) + 2(16) = -50 + 32 = -18

$$

3. 最終的な答え

-18