問題は、数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。与えられた条件は、$a_1 = 2$と漸化式$a_{n+1} = 9 - 2a_n$です。

1. 問題の内容

問題は、数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。与えられた条件は、$a_1 = 2$と漸化式$a_{n+1} = 9 - 2a_n$です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を$a_{n+1} - c = -2(a_n - c)$の形に変形できる定数$c$を求めます。漸化式$a_{n+1} = 9 - 2a_n$において、$a_{n+1}$と$a_n$を$c$で置き換えることで、$c = 9 - 2c$という式が得られます。これを解くと、

$3c = 9$

$c = 3$

となります。

したがって、$a_{n+1} - 3 = -2(a_n - 3)$と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - 3$とおくと、$b_{n+1} = a_{n+1} - 3$なので、$b_{n+1} = -2b_n$となります。これは、数列$\{b_n\}$が公比$-2$の等比数列であることを意味します。

$b_1 = a_1 - 3 = 2 - 3 = -1$なので、数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n = (-1)(-2)^{n-1} = (-2)^{n-1}(-1) = -(-2)^{n-1}$となります。

$a_n = b_n + 3$なので、数列$\{a_n\}$の一般項は、

$a_n = -(-2)^{n-1} + 3 = 3 - (-2)^{n-1}$となります。

3. 最終的な答え

数列$\{a_n\}$の一般項は、$a_n = 3 - (-2)^{n-1}$です。