$x = \sin{2\theta}$と$y = \sin{3\theta}$が与えられたとき、$\theta$を消去して$x$と$y$の関係式を求める。

1. 問題の内容

$x = \sin{2\theta}$と$y = \sin{3\theta}$が与えられたとき、$\theta$を消去して$x$と$y$の関係式を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の倍角の公式、3倍角の公式を適用する。

$x = \sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$

$y = \sin{3\theta} = 3\sin{\theta} - 4\sin^3{\theta}$

$\sin{\theta} = s$とすると、

$x = 2s\cos{\theta}$

$y = 3s - 4s^3$

$\cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta} = 1 - s^2$ より、$\cos{\theta} = \pm\sqrt{1 - s^2}$

$x = \pm 2s\sqrt{1 - s^2}$

$x^2 = 4s^2(1 - s^2) = 4s^2 - 4s^4$

$y = 3s - 4s^3$

$s^2 = u$ とおくと、

$x^2 = 4u - 4u^2$

$y = 3\sqrt{u} - 4u\sqrt{u} = \sqrt{u}(3 - 4u)$

$y^2 = u(3 - 4u)^2 = u(9 - 24u + 16u^2) = 9u - 24u^2 + 16u^3$

$4u = x^2 + 4u^2$より、$u = \frac{1}{4}(x^2 + 4u^2)$

$x^2 = 4u - 4u^2$

$y = 3s - 4s^3$

ここで、$s = \sin \theta$を消去するために、$x = 2\sin\theta \cos\theta$, $y = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ から $\sin\theta$と$\cos\theta$に関する式を導く。

$x = 2\sin\theta \cos\theta = 2s\sqrt{1 - s^2}$

$y = 3s - 4s^3$

$y^2 = (3s - 4s^3)^2 = 9s^2 - 24s^4 + 16s^6$

$x^2 = 4s^2(1 - s^2) = 4s^2 - 4s^4$

$4x^6$

$16y^2 = 16(3s - 4s^3)^2$

$x^6 +$

$4x^4$

$y = \sin(3\theta) = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$

$y = \sin(3\theta) = \sin(2\theta + \theta) = \sin(2\theta)\cos(\theta) + \cos(2\theta)\sin(\theta)$

$y = x \cos(\theta) + (1-2\sin^2\theta)\sin\theta$

$y = x \cos(\theta) + \sin \theta - 2\sin^3\theta$

$\sin \theta = t$とおくと、

$x = 2t \sqrt{1-t^2}$

$y = 3t-4t^3$

$x^2 = 4t^2 - 4t^4$

$y^2= (3t-4t^3)^2= 9t^2 -24t^4 + 16t^6$

難しい。。。

$x = \sin{2\theta}$

$y = \sin{3\theta}$

最終的な答えを直接出すことが難しいです。

3. 最終的な答え

最終的な答えは明示的に求めることができません。陰関数表示で表すと複雑な式になります。