4桁の自然数について、以下の問いに答えます。 (1) 各位の数字が全て奇数である自然数は全部で何個あるか、また、その中で5700より大きい自然数は全部で何個あるか。 (2) 各位の数字が全て偶数で、5700より小さい自然数は全部で何個あるか。

1. 問題の内容

4桁の自然数について、以下の問いに答えます。

(1) 各位の数字が全て奇数である自然数は全部で何個あるか、また、その中で5700より大きい自然数は全部で何個あるか。

(2) 各位の数字が全て偶数で、5700より小さい自然数は全部で何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 各位の数字が奇数である自然数の個数

4桁の自然数において、各桁に使える奇数は1, 3, 5, 7, 9 の5つです。したがって、各位の数字が奇数である自然数は $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$ 個です。

次に、各位の数字が奇数で5700より大きい自然数の個数を求めます。

千の位が5である場合、百の位は7または9である必要があります。

- 千の位が5, 百の位が7の場合、十の位と一の位は奇数なら何でも良いので、 $1 \times 1 \times 5 \times 5 = 25$ 個。

- 千の位が5, 百の位が9の場合、十の位と一の位は奇数なら何でも良いので、 $1 \times 1 \times 5 \times 5 = 25$ 個。

千の位が7または9の場合、百、十、一の位は奇数なら何でも良いので、 $2 \times 5 \times 5 \times 5 = 250$ 個。

したがって、求める個数は $25 + 25 + 250 = 300$ 個です。

(2) 各位の数字が偶数で5700より小さい自然数の個数

4桁の自然数において、各桁に使える偶数は0, 2, 4, 6, 8 の5つです。ただし千の位には0は使えません。

5700より小さい偶数で構成された4桁の数を考えます。

千の位が2または4の場合、各桁は偶数なら何でも良いので、

$2 \times 5 \times 5 \times 5 = 250$ 個。

千の位が6の場合、百の位は0, 2, 4のいずれかである必要があります。

- 千の位が6, 百の位が0, 2, 4の場合、十と一の位は偶数なら何でも良いので、 $1 \times 3 \times 5 \times 5 = 75$ 個。

したがって、求める個数は $250 + 75 = 325$ 個です。

3. 最終的な答え

(1) 各位の数字が奇数である自然数は全部で625個。その中で5700より大きい自然数は300個。

(2) 各位の数字が偶数で5700より小さい自然数は325個。