(1) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、方程式 $\sqrt{2}\cos^2\theta + 3\cos\theta + \sqrt{2} = 0$ を解け。 (2) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$-4\cos^2\theta - 4\sin\theta + 6$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文に沿って回答します。

1. 問題の内容

(1) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、方程式 $\sqrt{2}\cos^2\theta + 3\cos\theta + \sqrt{2} = 0$ を解け。

(2) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$-4\cos^2\theta - 4\sin\theta + 6$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos\theta = x$ とおくと、与えられた方程式は $\sqrt{2}x^2 + 3x + \sqrt{2} = 0$ となる。

これを因数分解すると、 $(\sqrt{2}x + 1)(x + \sqrt{2}) = 0$ となる。

したがって、$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ または $x = -\sqrt{2}$ となる。

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$-1 \leq \cos\theta \leq 1$ であるから、$x = -\sqrt{2}$ は不適である。

よって、$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲でこれを満たす $\theta$ は、$\theta = 135^\circ$ である。

(2)

$-4\cos^2\theta - 4\sin\theta + 6$ を $\sin\theta$ だけの式で表す。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ より、

$-4\cos^2\theta - 4\sin\theta + 6 = -4(1 - \sin^2\theta) - 4\sin\theta + 6 = 4\sin^2\theta - 4\sin\theta + 2$

ここで、$\sin\theta = t$ とおくと、$0 \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$0 \leq \sin\theta \leq 1$ より、$0 \leq t \leq 1$ である。

$4\sin^2\theta - 4\sin\theta + 2 = 4t^2 - 4t + 2 = 4(t^2 - t) + 2 = 4\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 - 1 + 2 = 4\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 1$

$f(t) = 4(t - \frac{1}{2})^2 + 1$ とおくと、$0 \leq t \leq 1$ の範囲で、$t = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $1$ をとり、$t = 0$ または $t = 1$ のとき最大値 $2$ をとる。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta = \frac{1}{2}$ であるから、$\theta = 30^\circ$ または $\theta = 150^\circ$ である。

$t = 0$ のとき、$\sin\theta = 0$ であるから、$\theta = 0^\circ$ または $\theta = 180^\circ$ である。

$t = 1$ のとき、$\sin\theta = 1$ であるから、$\theta = 90^\circ$ である。

したがって、最大値は $2$ で、$\theta = 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$ のとき。最小値は $1$ で、$\theta = 30^\circ, 150^\circ$ のとき。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 135^\circ$

(2) 最大値：$2$ ($\theta = 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$), 最小値：$1$ ($\theta = 30^\circ, 150^\circ$)