$0^\circ < \theta < 90^\circ$のとき、$\cos \theta = \frac{1}{3}$である。このとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 90^\circ$のとき、$\cos \theta = \frac{1}{3}$である。このとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて$\sin \theta$の値を求めます。

$\cos \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + (\frac{1}{3})^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{9}$

$\sin^2 \theta = \frac{8}{9}$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$であるから、$\sin \theta > 0$なので、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$の関係式を用いて$\tan \theta$を計算します。

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$、$\cos \theta = \frac{1}{3}$を代入すると、

$\tan \theta = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{3}{1} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = 2\sqrt{2}$