$\sqrt{63n}$ が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さい $n$ の値と、そのときの $\sqrt{63n}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{63n}$ が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さい $n$ の値と、そのときの $\sqrt{63n}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、63を素因数分解する。

$63 = 3 \times 21 = 3 \times 3 \times 7 = 3^2 \times 7$

よって、$\sqrt{63n} = \sqrt{3^2 \times 7 \times n}$

$\sqrt{63n}$ が自然数になるためには、$3^2 \times 7 \times n$ がある自然数の2乗になる必要がある。

$3^2$ はすでに2乗の形になっているので、$7 \times n$ がある自然数の2乗の形になればよい。

$n$ は自然数なので、$7 \times n$ が最も小さい2乗の形になるのは、$7 \times n = 7^2$ のときである。

したがって、$n = 7$

このとき、$\sqrt{63n} = \sqrt{3^2 \times 7 \times 7} = \sqrt{3^2 \times 7^2} = 3 \times 7 = 21$

3. 最終的な答え

最も小さい $n$ の値は $7$ であり、そのときの $\sqrt{63n}$ の値は $21$ である。