4桁の正の整数において、千の位の数を $a$, 百の位の数を $b$, 十の位の数を $c$, 一の位の数を $d$ とします。 (1) $a>b>c>d$ を満たす4桁の正の整数はいくつあるか。 (2) $a\ge b\ge c\ge d$ を満たす4桁の正の整数はいくつあるか。 (3) $a\ge b\ge c<d$ を満たす4桁の正の整数はいくつあるか。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

4桁の正の整数において、千の位の数を $a$, 百の位の数を $b$, 十の位の数を $c$, 一の位の数を $d$ とします。

(1) $a>b>c>d$ を満たす4桁の正の整数はいくつあるか。

(2) $a\ge b\ge c\ge d$ を満たす4桁の正の整数はいくつあるか。

(3) $a\ge b\ge c<d$ を満たす4桁の正の整数はいくつあるか。

2. 解き方の手順

(1) $a>b>c>d$ のとき、異なる1から9までの数字を選ぶ。選んだ4つの数字を大きい順に $a, b, c, d$ とすれば条件を満たす。したがって、$1$ から $9$ までの異なる $4$ つの数字を選ぶ組み合わせの数を求めればよい。これは $9$ 個から $4$ 個を選ぶ組み合わせなので、

$$$$

{}_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126

$$$$

(2) $a\ge b\ge c\ge d$ のとき、同じ数字を使っても良いので、1から9までの数字から重複を許して4つ選ぶ組み合わせの数を求めればよい。これは、1から9の数字を並べて、仕切り3つで区切ることを考えることと同じ。つまり、1から9までの数字と仕切りを合わせて $4+9-1 = 12$ 個並べるうち、仕切りを置く場所を選ぶ組み合わせなので、

$$$$

{}_{12}C_3 = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220

$$$$

(3) $a\ge b\ge c<d$ のとき、$a \ge b \ge c$ と $c < d$ を満たすものを考えます。まず、$a \ge b \ge c$ となる $a, b, c$ の組み合わせを考えます。$c$ を固定すると、 $a, b$ は $c$ 以上であれば良いので、 $c$ が $1$ から $8$ までの場合を考えます。また、$d$ は $c$ より大きければ良いので、$d$ は $c+1$ から $9$ までの値をとります。$a, b, c$ は $1 \le c \le 8$ で整数、$d$ は $c < d \le 9$ で整数。

まず、$a\ge b \ge c$ となる $a, b, c$ の組み合わせの数を求めます。これは、$c, b, a$ の順に並べ替えると、$a\ge b \ge c \ge 1$ なので、$x_1 = a-b, x_2 = b-c, x_3= c-1$ とすると、$x_1, x_2, x_3 \ge 0$ であり、$x_1+x_2+x_3 = a-1$です。また、$a+b+c$ は、重複を許して3つ選ぶ組み合わせなので、$a\ge b \ge c$を満たす組み合わせ数は、1から9までの数から3つ重複を許して選ぶ方法で、${}_{9+3-1}C_3 = {}_{11}C_3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$ 。

$a\ge b \ge c$となる組み合わせ数は、$1 \le a \le 9, 1 \le b \le 9, 1 \le c \le 9$ に対して${}_{9+3-1}C_3 = {}_{11}C_3=165$通りあります。

$c < d$となる組み合わせ数は、$c$ が $1$ のとき $d$ は $2$ から $9$ の $8$ 通り、$c$ が $2$ のとき $d$ は $3$ から $9$ の $7$ 通り、...、$c$ が $8$ のとき $d$ は $9$ の $1$ 通りなので、$1+2+3+4+5+6+7+8=36$通りです。

したがって、$a\ge b\ge c < d$を満たす整数は、1から9までの整数に対して、$c<d$となるような整数を選ぶ。

$c$の範囲は1から8であり、$a\ge b\ge c$となる数を求める。$a,b,c$がすべて異なるとき、$a\ge b\ge c$となるのは、${}_{9}C_3=84$通り。

$a,b,c$がすべて同じとき9通り

$a,b,c$のうち2つ同じで、残り一つが異なる場合。

$c$ の値が $k$ であるとき、$a \ge b \ge k$ であり、$d$ は $k+1$ から $9$ までの数なので、$9-k$ 通り。

例えば $c=1$ ならば $d$ は $2,3,...,9$ の $8$ 通り、$c=2$ ならば $d$ は $3,4,...,9$ の $7$ 通り。

$a \ge b \ge c < d$ を満たす $a,b,c,d$ の組を数えるには、まず $c$ を固定して、 $c=1,2,...,8$ とします。

$c=k$ のとき、 $1 \le a,b \le 9$ で $a \ge b \ge k$ となる $a,b$ の組の数は、 $a \ge b$ かつ $a,b \ge k$ となる $a,b$ の組の数になります。

$a \ge b$ なら ${}_n H_2 = {}_{n+2-1}C_2$ となるが、$a\ge b \ge c$が条件なので、$1 \le c \le 8$ で$c$を固定する。また$a\ge b \ge c$を満たすには${}_{9-c+2-1}C_2$通り。

$a\ge b\ge c$となる組み合わせ数は165通りなので、$c < d$となる組み合わせ数は36通りなので、

$165*36 = 5940$ と考えられるが間違い。

答え：1から9までの数字から４つ選び、$a>=b>=c$かつ$c<d$を満たすとき

$a>b>c>d$の条件をみたすとき、${}_9C_4 = \frac{9*8*7*6}{4*3*2*1} = 126$

$a \ge b \ge c < d$

$c < d$ より $c$ の最大値は $8$ である。

$c=1$ のとき $d=2,3,4,5,6,7,8,9$

$c=2$ のとき $d=3,4,5,6,7,8,9$

$c=8$ のとき $d=9$

なので$1,2,3,...,9$ から重複を許して3つ選ぶとき、${}_{9}H_3 = {}_{9+3-1}C_3 = {}_{11}C_3$

3. 最終的な答え

(1) 126個

(2) 220個

(3) 解答できません。