奇数の数列が、以下のように群に分けられています。 1 | 3, 5 | 7, 9, 11 | 13, 15, 17, 19 | 21, ... (1) 第n群の最初の奇数を求めてください。 (2) 第n群の総和を求めてください。 (3) 第17群の15番目に並ぶ数を求めてください。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

奇数の数列が、以下のように群に分けられています。

1 | 3, 5 | 7, 9, 11 | 13, 15, 17, 19 | 21, ...

(1) 第n群の最初の奇数を求めてください。

(2) 第n群の総和を求めてください。

(3) 第17群の15番目に並ぶ数を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 第n群の最初の奇数

第n群に入る前の奇数の個数を考えます。第1群には1個、第2群には2個、第3群には3個...というように、第n-1群にはn-1個の奇数が含まれます。よって、第n-1群までには、

$1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$

個の奇数が含まれます。

数列全体で数えたとき、n群の最初の奇数は、$\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目の奇数です。

奇数列のm番目の奇数は、$2m - 1$ と表せるので、第n群の最初の奇数は、

$2 (\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = n(n-1) + 2 - 1 = n^2 - n + 1$

となります。

(2) 第n群の総和

第n群にはn個の奇数が含まれています。

第n群の最初の奇数は $n^2 - n + 1$ です。

奇数列は公差2の等差数列なので、第n群は初項 $n^2 - n + 1$、公差2、項数nの等差数列です。

等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ で与えられます。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差、$n$ は項数です。

したがって、第n群の総和は、

$S_n = \frac{n}{2}(2(n^2 - n + 1) + (n-1)2) = \frac{n}{2}(2n^2 - 2n + 2 + 2n - 2) = \frac{n}{2}(2n^2) = n^3$

となります。

(3) 第17群の15番目に並ぶ数

第17群の最初の奇数は、(1)の結果より $17^2 - 17 + 1 = 289 - 17 + 1 = 273$ です。

第17群の15番目の奇数は、第17群の最初の奇数に、公差2を14回加えたものです。

したがって、第17群の15番目の奇数は、$273 + 2 * 14 = 273 + 28 = 301$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 第n群の最初の奇数: $n^2 - n + 1$

(2) 第n群の総和: $n^3$

(3) 第17群の15番目に並ぶ数: 301