問題2の(1)(2)(3)と、問題3の(1)(2)(3)(4)を計算する。 問題2: (1) $S = \sum_{k=1}^{5} k$ (2) $S = \sum_{k=1}^{5} k^2$ (3) $S = \sum_{k=3}^{7} k(k-1)$ 問題3: データは以下の通り： $x_1 = -3, x_2 = 2, x_3 = 4, x_4 = 1, x_5 = -2, x_6 = -1, x_7 = -4, x_8 = 5, x_9 = 2, x_{10} = 2$ (1) $\sum_{i=1}^{10} x_i$ (2) $\sum_{i=1}^{5} x_{2i}$ (3) $\sum_{k=2}^{7} x_k^2$ (4) $\sum_{k=1}^{5} (2x_{2k-1} - 1)$

1. 問題の内容

問題2の(1)(2)(3)と、問題3の(1)(2)(3)(4)を計算する。

問題2:

(1) $S = \sum_{k=1}^{5} k$

(2) $S = \sum_{k=1}^{5} k^2$

(3) $S = \sum_{k=3}^{7} k(k-1)$

問題3:

データは以下の通り：

$x_1 = -3, x_2 = 2, x_3 = 4, x_4 = 1, x_5 = -2, x_6 = -1, x_7 = -4, x_8 = 5, x_9 = 2, x_{10} = 2$

(1) $\sum_{i=1}^{10} x_i$

(2) $\sum_{i=1}^{5} x_{2i}$

(3) $\sum_{k=2}^{7} x_k^2$

(4) $\sum_{k=1}^{5} (2x_{2k-1} - 1)$

2. 解き方の手順

問題2:

(1) 等差数列の和の公式を用いる。$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$を用いる。

(3) 展開して$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$と$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$を用いるか、一つずつ計算する。

問題3:

(1) 与えられたデータから、$x_1$から$x_{10}$までの値を足し合わせる。

(2) $x_2, x_4, x_6, x_8, x_{10}$の値を足し合わせる。

(3) $x_2^2, x_3^2, x_4^2, x_5^2, x_6^2, x_7^2$の値を足し合わせる。

(4) $x_1, x_3, x_5, x_7, x_9$をそれぞれ2倍して1を引き、それらの値を足し合わせる。

問題2:

(1) $\sum_{k=1}^{5} k = \frac{5(5+1)}{2} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15$

(2) $\sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{5(5+1)(2 \cdot 5 + 1)}{6} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = 55$

(3) $\sum_{k=3}^{7} k(k-1) = \sum_{k=3}^{7} (k^2 - k) = \sum_{k=3}^{7} k^2 - \sum_{k=3}^{7} k = (3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2) - (3+4+5+6+7) = (9+16+25+36+49) - (25) = 135 - 25 = 110$

問題3:

(1) $\sum_{i=1}^{10} x_i = -3 + 2 + 4 + 1 - 2 - 1 - 4 + 5 + 2 + 2 = 6$

(2) $\sum_{i=1}^{5} x_{2i} = x_2 + x_4 + x_6 + x_8 + x_{10} = 2 + 1 - 1 + 5 + 2 = 9$

(3) $\sum_{k=2}^{7} x_k^2 = x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2 = 2^2 + 4^2 + 1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + (-4)^2 = 4 + 16 + 1 + 4 + 1 + 16 = 42$

(4) $\sum_{k=1}^{5} (2x_{2k-1} - 1) = (2x_1 - 1) + (2x_3 - 1) + (2x_5 - 1) + (2x_7 - 1) + (2x_9 - 1) = (2(-3) - 1) + (2(4) - 1) + (2(-2) - 1) + (2(-4) - 1) + (2(2) - 1) = (-6-1) + (8-1) + (-4-1) + (-8-1) + (4-1) = -7 + 7 - 5 - 9 + 3 = -11$

3. 最終的な答え

問題2:

(1) 15

(2) 55

(3) 110

問題3:

(1) 6

(2) 9

(3) 42

(4) -11