$n$を正の整数とするとき、$\sqrt{1536n}$が整数となるような$n$の最小値を求める。

1. 問題の内容

$n$を正の整数とするとき、$\sqrt{1536n}$が整数となるような$n$の最小値を求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{1536n}$が整数になるためには、$1536n$が平方数でなければならない。

まず、$1536$を素因数分解する。

$1536 = 2^{9} \times 3$

したがって、$\sqrt{1536n} = \sqrt{2^9 \times 3 \times n}$となる。

$\sqrt{1536n}$が整数となるためには、$2^9 \times 3 \times n$が平方数になる必要がある。そのためには、$n$は少なくとも$2$と$3$を掛ける必要がある。

つまり、$n = 2 \times 3 = 6$のとき、$1536n = 2^9 \times 3 \times 2 \times 3 = 2^{10} \times 3^2 = (2^5 \times 3)^2 = (32 \times 3)^2 = 96^2$となる。

よって、$n=6$のとき、$\sqrt{1536n} = \sqrt{96^2} = 96$となり、整数になる。

$n=6$より小さい$n$では、$\sqrt{1536n}$が整数にならないことを確認する。

$n=1$のとき、$\sqrt{1536} = \sqrt{2^9 \times 3}$となり、整数ではない。

$n=2$のとき、$\sqrt{1536 \times 2} = \sqrt{2^{10} \times 3}$となり、整数ではない。

$n=3$のとき、$\sqrt{1536 \times 3} = \sqrt{2^9 \times 3^2}$となり、整数ではない。

$n=4$のとき、$\sqrt{1536 \times 4} = \sqrt{2^9 \times 3 \times 2^2} = \sqrt{2^{11} \times 3}$となり、整数ではない。

$n=5$のとき、$\sqrt{1536 \times 5} = \sqrt{2^9 \times 3 \times 5}$となり、整数ではない。

したがって、$n$の最小値は6である。

3. 最終的な答え

6