与えられた2つの式について、2重根号を外して簡単にせよという問題です。 (1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{8-\sqrt{15}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの式について、2重根号を外して簡単にせよという問題です。

(1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{8-\sqrt{15}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ について

まず、$4\sqrt{3}$を$2\sqrt{a}$の形に変形することを考えます。$4\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{12}$ となるので、$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$となります。次に、足して7、掛けて12になる2つの数を見つけます。それは4と3です。したがって、

$\sqrt{7+2\sqrt{12}} = \sqrt{(4+3)+2\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{8-\sqrt{15}}$ について

まず、2重根号を外すために、根号の中を$a \pm 2\sqrt{b}$の形にする必要があります。

$\sqrt{8-\sqrt{15}}=\sqrt{8-2\cdot \frac{1}{2}\sqrt{15}} = \sqrt{8-2\sqrt{\frac{15}{4}}} = \sqrt{\frac{32-2\sqrt{15\cdot 4}}{4}}=\frac{\sqrt{32-2\sqrt{60}}}{2}$

$32-2\sqrt{60}$の根号を外すことを考える。足して32、掛けて60になる2つの数を見つける。

それは30と2ではないため違う方法を探す。

$\sqrt{8-\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{16-2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{16-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$

ここで、足して16、掛けて15になる2つの数を見つけます。それは15と1です。したがって、

$\frac{\sqrt{16-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(15+1)-2\sqrt{15 \cdot 1}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{15}-\sqrt{1})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{15}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}-\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2+\sqrt{3}$

(2) $\frac{\sqrt{30}-\sqrt{2}}{2}$