表に示されたA組、B組、C組の数学の試験の平均点に関する問題です。 (1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの$x$の値を求めます。 (2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるような$x$の値を全て求めます。 (3) 後日、欠席していたC組の2人の男子が同じ試験を受験し、その2人の得点の和を$k$点としたとき、条件を満たすような$x$の値がただ一つに定まるような$k$の値を全て求めます。

1. 問題の内容

表に示されたA組、B組、C組の数学の試験の平均点に関する問題です。

(1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの$x$の値を求めます。

(2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるような$x$の値を全て求めます。

(3) 後日、欠席していたC組の2人の男子が同じ試験を受験し、その2人の得点の和を$k$点としたとき、条件を満たすような$x$の値がただ一つに定まるような$k$の値を全て求めます。

2. 解き方の手順

(1) A組の平均点を求める。A組の男子の合計点は$32 \times 60 = 1920$点、女子の合計点は$8 \times 70 = 560$点なので、A組全体の合計点は$1920 + 560 = 2480$点です。A組の人数は$32 + 8 = 40$人なので、A組の平均点は$2480 / 40 = 62$点です。

B組の平均点を求める。B組の男子の合計点は$(40-x) \times 65 = 2600 - 65x$点、女子の合計点は$x \times 55 = 55x$点なので、B組全体の合計点は$2600 - 65x + 55x = 2600 - 10x$点です。B組の人数は$40 - x + x = 40$人なので、B組の平均点は$(2600 - 10x) / 40 = 65 - x/4$点です。

B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、$65 - x/4 = 62$という式が成り立ちます。これを解くと、$x/4 = 3$となり、$x = 12$となります。

(2) C組の平均点を求める。C組の男子の合計点は$(x+5) \times 59 = 59x + 295$点、女子の合計点は$(40-x) \times 64 = 2560 - 64x$点なので、C組全体の合計点は$59x + 295 + 2560 - 64x = 2855 - 5x$点です。C組の人数は$x + 5 + 40 - x = 45$人なので、C組の平均点は$(2855 - 5x) / 45$点です。

C組の平均点がA組の平均点以上であるとき、$(2855 - 5x) / 45 \ge 62$という式が成り立ちます。これを解くと、$2855 - 5x \ge 2790$となり、$65 \ge 5x$、$x \le 13$となります。

B組の合計得点は$2600 - 10x$点、C組の合計得点は$2855 - 5x$点です。B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるとき、$| (2600 - 10x) - (2855 - 5x) | \ge 300$という式が成り立ちます。これを解くと、$| -255 - 5x | \ge 300$となります。

これは、$|-5(51+x)| \ge 300$となり、$|51+x| \ge 60$となります。

したがって、$51 + x \ge 60$または$51 + x \le -60$となります。

$x \ge 9$または$x \le -111$となります。

$x$は1以上39以下の整数なので、$9 \le x \le 13$を満たす$x$は$9, 10, 11, 12, 13$です。

(3) C組の平均点は$A$組の平均点以上だったが、2人の得点$a,b$ ($a+b=k$)を加えたあと、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。

もともとのC組の合計点は$2855-5x$ で人数は45人。新しく加わった２人の合計点が$k$なので、新しいC組の合計点は$2855-5x+k$ 人数は$47$人。

当初、$\frac{2855-5x}{45} \ge 62$ が成立していた。

その後、$\frac{2855-5x+k}{47} < 62$ となった。

$2855-5x \ge 2790$ より $65 \ge 5x$, つまり $x \le 13$.

$2855-5x+k < 2914$ より $k < 5x+59$.

$x$がただ一つに定まる条件を考える。$9 \le x \le 13$ であることに注意すると、 $x=9$ となるには、 $k < 5\cdot9 + 59 = 104$ かつ $k \ge 5 \cdot 8 + 59 = 99$が必要。同様に、$x=10$となるには $104 \le k < 109$、$x=11$となるには$109 \le k < 114$、$x=12$となるには$114 \le k < 119$、$x=13$となるには$119 \le k < 124$が必要。したがって、$k=104, 109, 114, 119$ のとき、$x$がただ一つに定まる。

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点：62点、$x = 12$

(2) $x = 9, 10, 11, 12, 13$

(3) $k = 104, 109, 114, 119$