正の整数の列を、第$n$群に$2n-1$個の整数が入るように群に分ける。 (1) 第5群の最後の数を求める。 (2) 第6群のすべての数の和を求める。 (3) 90が第何群の何番目の数であるかを求める。

1. 問題の内容

正の整数の列を、第$n$群に$2n-1$個の整数が入るように群に分ける。

(1) 第5群の最後の数を求める。

(2) 第6群のすべての数の和を求める。

(3) 90が第何群の何番目の数であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最後の数を求めるには、第1群から第$n$群までの整数の個数の合計を計算する。

第$n$群には$2n-1$個の整数が含まれるので、第1群から第$n$群までの整数の個数の合計は次のようになる。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1) - n = n^2$

したがって、第$n$群の最後の数は$n^2$である。

第5群の最後の数は$5^2 = 25$である。

(2) 第$n$群の最初の数は$(n-1)^2 + 1$である。

したがって、第6群の最初の数は$(6-1)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 26$である。

第6群の最後の数は$6^2 = 36$である。

第6群には$2 \cdot 6 - 1 = 11$個の整数が含まれる。

第6群の数の和は、等差数列の和の公式を用いて求める。

$\frac{\text{項数}}{2} \times (\text{最初の数} + \text{最後の数})$

$\frac{11}{2} \times (26 + 36) = \frac{11}{2} \times 62 = 11 \times 31 = 341$

(3) 90が第何群にあるかを求める。

$n^2$が90以下で最大の整数となる$n$を見つける。

$9^2 = 81$

$10^2 = 100$

したがって、90は第10群にある。

第9群の最後の数は$9^2 = 81$である。

第10群の最初の数は$9^2 + 1 = 82$である。

90は第10群の$90 - 81 = 9$番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 25

(2) 341

(3) 第10群の9番目