数列がいくつかのグループに分けられています。この数列は奇数の数列です。$157$ は、何番目のグループの何番目の数であるかを求めます。

1. 問題の内容

数列がいくつかのグループに分けられています。この数列は奇数の数列です。$157$ は、何番目のグループの何番目の数であるかを求めます。

2. 解き方の手順

与えられた数列は奇数の列で、以下のようにグループ分けされています。

(3), (5, 7), (9, 11, 13), (15, 17, 19, 21), (23, 25, 27, 29, 31), ...

各グループの要素の数は、順に 1, 2, 3, 4, 5, ... となっています。

第 $n$ グループの要素数は $n$ です。

まず、$157$が数列の何番目の要素であるかを考えます。奇数の列は、一般に $2n-1$ と表されます。

$2n-1 = 157$

$2n = 158$

$n = 79$

したがって、$157$ は奇数の列の79番目の数です。

次に、$157$ が何番目のグループに属するかを求めます。第 $n$ グループまでの要素数の合計を $S_n$ とすると、

$S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

この $S_n$ が 79 に最も近い値を見つけます。

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \le 79$

$n(n+1) \le 158$

$n=12$ のとき、$12 \times 13 = 156 \le 158$

$n=13$ のとき、$13 \times 14 = 182 > 158$

したがって、 $n = 12$ となり、$157$ は第 13 グループに属することがわかります。

第 12 グループまでの要素の合計は $S_{12} = \frac{12(12+1)}{2} = \frac{12 \times 13}{2} = 78$ です。

したがって、$157$は第13グループの最初の要素です。

3. 最終的な答え

157は第13群の1番目