72の正の約数の集合を$A$、240の正の約数の集合を$B$とするとき、以下の値を求めます。 (1) $n(A)$ (2) $n(B)$ (3) $n(A \cup B)$

1. 問題の内容

72の正の約数の集合を$A$、240の正の約数の集合を$B$とするとき、以下の値を求めます。

(1) $n(A)$

(2) $n(B)$

(3) $n(A \cup B)$

2. 解き方の手順

(1) $n(A)$ (72の正の約数の個数)を求める。

72を素因数分解すると、

$72 = 2^3 \times 3^2$

約数の個数は、各素因数の指数に1を足して掛け合わせたものになるので、

$n(A) = (3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12$

(2) $n(B)$ (240の正の約数の個数)を求める。

240を素因数分解すると、

$240 = 2^4 \times 3^1 \times 5^1$

約数の個数は、各素因数の指数に1を足して掛け合わせたものになるので、

$n(B) = (4+1)(1+1)(1+1) = 5 \times 2 \times 2 = 20$

(3) $n(A \cup B)$を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$A \cap B$は、72と240の公約数の集合である。

72と240の最大公約数を求める。

$72 = 2^3 \times 3^2$

$240 = 2^4 \times 3^1 \times 5^1$

最大公約数は $2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$

$A \cap B$は、24の正の約数の集合である。

24を素因数分解すると、$24 = 2^3 \times 3^1$

$n(A \cap B) = (3+1)(1+1) = 4 \times 2 = 8$

したがって、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 12 + 20 - 8 = 24$

3. 最終的な答え

(1) $n(A) = 12$

(2) $n(B) = 20$

(3) $n(A \cup B) = 24$