1から9までの数字が書かれた9枚のカードから4枚を選び、2桁の数を2つ作る。それらの2つの数の和が97になる組み合わせは何通りあるか。

## 回答

1. 問題の内容

1から9までの数字が書かれた9枚のカードから4枚を選び、2桁の数を2つ作る。それらの2つの数の和が97になる組み合わせは何通りあるか。

2. 解き方の手順

2つの2桁の数の和が97になる組み合わせを考える。2桁の数を $ab$、$cd$ とすると、

$ab + cd = 97$

となる。

10の位の数字の和が9または8になる必要がある。

ありうる組み合わせを検討していく。

1. $a + c = 9$ の場合:

例えば、$a = 1, c = 8$ とすると、$b + d = 7$となる。

考えられる組み合わせは以下の通り。

* 10の位：1と8, 2と7, 3と6, 4と5

2. $a + c = 8$ の場合:

$b + d = 17$となる。

$b,d$は1から9の数字なので$b+d=17$を満たすのは、$b=8, d=9$と$b=9, d=8$のパターンのみ。

考えられる組み合わせは以下の通り。

* 10の位：1と7, 2と6, 3と5, 4と4

上記の条件下で、実際に可能な組み合わせを探す。

* 1と8の場合: $1b + 8d = 97$ → $b+d=7$ (ただし1,8は使用不可)

(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

例：$12 + 85 = 97$, $13 + 84 = 97$, $14 + 83 = 97$, $15 + 82 = 97$, $16+81 = 97$

* 2と7の場合: $2b + 7d = 97$ → $b+d=7$ (ただし2,7は使用不可)

(1,6),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

例：$21 + 76 = 97$, $23 + 74 = 97$, $24 + 73 = 97$, $25 + 72 = 97$, $26+71 = 97$

* 3と6の場合: $3b + 6d = 97$ → $b+d=7$ (ただし3,6は使用不可)

(1,6),(2,5),(4,3),(5,2)

例：$31 + 66 = 97$は不可, $32 + 65 = 97$, $34 + 63 = 97$, $35 + 62 = 97$

* 4と5の場合: $4b + 5d = 97$ → $b+d=7$ (ただし4,5は使用不可)

(1,6),(2,5),(3,4),(6,1)

例：$41 + 56 = 97$, $42 + 55 = 97$は不可, $43 + 54 = 97$, $46 + 51 = 97$

* 1と7, 2と6, 3と5の場合で、$b+d=17$ (1,7)(2,6)(3,5)を使用不可。

* 4と4の場合、$b+d=17$ (4を使用不可), これは不可能

上記の例から、それぞれ4つの数字の組み合わせが重複なく使用されている場合を考える。

12 + 85 = 97, 15 + 82 = 97 (1,2,5,8)

21 + 76 = 97, 26 + 71 = 97 (1,2,6,7)

32 + 65 = 97, 35 + 62 = 97 (2,3,5,6)

41 + 56 = 97, 46 + 51 = 97 (1,4,5,6)

これらの組み合わせは、数字の並べ方で4通りの表現ができる。例：12+85, 85+12, 15+82, 82+15

したがって、4 * 4 = 16通り

3. 最終的な答え

16 通り