以下の分数の和を計算します。 $ \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \frac{1}{9 \times 11} + \frac{1}{11 \times 13} + \frac{1}{13 \times 15} $

1. 問題の内容

以下の分数の和を計算します。

$\frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \frac{1}{9 \times 11} + \frac{1}{11 \times 13} + \frac{1}{13 \times 15}$

2. 解き方の手順

この問題は、部分分数分解を利用して解くことができます。各項は以下のように分解できます。

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$

両辺に $n(n+2)$ をかけると

$1 = A(n+2) + Bn$

$n = 0$ のとき、$1 = 2A$ なので、$A = \frac{1}{2}$

$n = -2$ のとき、$1 = -2B$ なので、$B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$

元の式に適用すると、

$\frac{1}{5 \times 7} = \frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$

$\frac{1}{7 \times 9} = \frac{1}{2}(\frac{1}{7} - \frac{1}{9})$

$\frac{1}{9 \times 11} = \frac{1}{2}(\frac{1}{9} - \frac{1}{11})$

$\frac{1}{11 \times 13} = \frac{1}{2}(\frac{1}{11} - \frac{1}{13})$

$\frac{1}{13 \times 15} = \frac{1}{2}(\frac{1}{13} - \frac{1}{15})$

これらの和は、

$\frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{11} - \frac{1}{13}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{13} - \frac{1}{15})$

$= \frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15})$

$= \frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{15})$

$= \frac{1}{2}(\frac{3}{15} - \frac{1}{15})$

$= \frac{1}{2}(\frac{2}{15})$

$= \frac{1}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{15}$