(1) 2進数 $101101_{(2)}$ を10進数で表す。 (2) 10進数 $143$ を7進数で表す。 (3) 自然数 $N$ を5進法で表すと3桁の数 $abc_{(5)}$ となり、7進法で表すと3桁の数 $cab_{(7)}$ となる。このとき、$N$, $a$, $b$, $c$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 2進数 $101101_{(2)}$ を10進数で表す。

(2) 10進数 $143$ を7進数で表す。

(3) 自然数 $N$ を5進法で表すと3桁の数 $abc_{(5)}$ となり、7進法で表すと3桁の数 $cab_{(7)}$ となる。このとき、$N$, $a$, $b$, $c$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2進数を10進数に変換する。

$101101_{(2)} = 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45$

(2) 10進数を7進数に変換する。

143を7で割る。

$143 = 7 \cdot 20 + 3$

20を7で割る。

$20 = 7 \cdot 2 + 6$

2を7で割る。

$2 = 7 \cdot 0 + 2$

よって、$143 = 263_{(7)}$

(3) $abc_{(5)} = cab_{(7)}$ を10進数で表す。

$25a + 5b + c = 49c + 7a + b$

$18a + 4b - 48c = 0$

$9a + 2b - 24c = 0$

よって、$9a + 2b = 24c$

$2b = 24c - 9a$

$2b = 3(8c - 3a)$

したがって、$b = \frac{3(8c - 3a)}{2}$

$b$ は整数なので、$8c - 3a$ は偶数である必要がある。

$0 \le a,b,c \le 4$ および $0 \le a,b,c \le 6$ より、$0 \le a,b,c \le 4$。

$a,b,c$ は整数より、$8c - 3a$ は偶数なので、$a$と$c$の偶奇は一致する。

$2b = 3(8c - 3a)$より、$b$は3の倍数なので、$b = 0$ または $b=3$

$b=0$の場合、$8c-3a = 0$, $8c=3a$.

$a,c$は4以下より、$c=0$, $a=0$.

$a,c$は0ではないので、$b=3$

$2 \cdot 3 = 3(8c - 3a)$

$2 = 8c - 3a$

$3a = 8c - 2$

$a = (8c-2)/3$

$c = 1$ のとき $a = 2$, $c = 4$ のとき $a = 10 > 4$ となるので不適。

したがって、$a=2$, $c=1$, $b=3$

$N = 231_{(5)} = 2 \cdot 25 + 3 \cdot 5 + 1 = 50 + 15 + 1 = 66$

$N = 123_{(7)} = 1 \cdot 49 + 2 \cdot 7 + 3 = 49 + 14 + 3 = 66$

3. 最終的な答え

(1) 45

(2) 263

(3) ウ：9, エ：24, オ：3, カ：8, キ：3, ク：3, ケ：2, コ：1, サ：66