与えられた4つの和の計算問題を解きます。 (1) $\sum_{k=1}^{15} 2$ (2) $\sum_{k=1}^{10} k$ (3) $\sum_{k=1}^{8} k^2$ (4) $\sum_{k=1}^{6} k^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの和の計算問題を解きます。

(1) $\sum_{k=1}^{15} 2$

(2) $\sum_{k=1}^{10} k$

(3) $\sum_{k=1}^{8} k^2$

(4) $\sum_{k=1}^{6} k^3$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{15} 2$ は、定数 $2$ を $k=1$ から $k=15$ まで足し合わせることを意味します。つまり、$2$ を $15$ 回足すことになります。したがって、

$\sum_{k=1}^{15} 2 = 2 \times 15$

(2) $\sum_{k=1}^{10} k$ は、自然数の和です。公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用います。この場合、$n=10$ なので、

$\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10(10+1)}{2}$

(3) $\sum_{k=1}^{8} k^2$ は、自然数の二乗の和です。公式 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用います。この場合、$n=8$ なので、

$\sum_{k=1}^{8} k^2 = \frac{8(8+1)(2 \times 8+1)}{6}$

(4) $\sum_{k=1}^{6} k^3$ は、自然数の三乗の和です。公式 $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ を用います。この場合、$n=6$ なので、

$\sum_{k=1}^{6} k^3 = \left(\frac{6(6+1)}{2}\right)^2$

計算します。

(1) $\sum_{k=1}^{15} 2 = 2 \times 15 = 30$

(2) $\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$

(3) $\sum_{k=1}^{8} k^2 = \frac{8 \times 9 \times (16+1)}{6} = \frac{8 \times 9 \times 17}{6} = \frac{1224}{6} = 204$

(4) $\sum_{k=1}^{6} k^3 = \left(\frac{6 \times 7}{2}\right)^2 = (3 \times 7)^2 = (21)^2 = 441$

3. 最終的な答え

(1) 30

(2) 55

(3) 204

(4) 441