0, 1, 2, 3の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、合計8枚ある。この8枚のカードから3枚を選んで3桁の整数を作るとき、以下の問いに答える。ただし、同じ数字のカードは区別しない。 (1) 0を使わない3桁の整数は何個作れるか。 (2) 0を使う3桁の整数は何個作れるか。 (3) 3桁の整数は何個作れるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、合計8枚ある。この8枚のカードから3枚を選んで3桁の整数を作るとき、以下の問いに答える。ただし、同じ数字のカードは区別しない。

(1) 0を使わない3桁の整数は何個作れるか。

(2) 0を使う3桁の整数は何個作れるか。

(3) 3桁の整数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 0を使わない3桁の整数を作る場合、使用できる数字は1, 2, 3のみである。

- 3種類の数字から3種類選ぶ場合：$3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り

- 1種類だけ同じ数字を2つ使う場合：同じ数字を2つ使う数字の選び方が3通り。残りの1つの数字の選び方が2通り。並べ方は $3! / 2! = 3$ 通りなので、 $3 \times 2 \times 3 = 18$ 通り

- 合計：$6 + 18 = 24$ 通り

(2) 0を使う3桁の整数を作る場合を考える。

- 0を2枚使う場合：百の位は0以外なので、1, 2, 3のいずれかである。百の位の選び方が3通り。残りの1枚は0以外の数字なので2通り。よって、$3 \times 1 = 3$通り

- 0を1枚使う場合：百の位は0以外なので、1, 2, 3のいずれかである。

- 百の位と十の位が異なる場合：百の位の選び方が3通り、十の位が0、一の位は百の位以外の数字を選ぶ。一の位の選び方が2通り。並び方は$3! / (1!1!1!) = 6 / 2 = 3$ よって、$3 \times 2 \times 2 = 12$通り

- 百の位ともう1つの位が同じ数字の場合：百の位を1, 2, 3のいずれかとする。残りの1枚も同じ数字とする。残りの位は0以外の数字なので、2通り。$3 \times 2 = 6$

- 合計：$3 + 12 + 6 = 21$

(3) 3桁の整数は(1)と(2)を足したものである。

- $24 + 21 = 45$

3. 最終的な答え

(1) 24個

(2) 21個

(3) 45個