与えられた式 $\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ を計算して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ を計算して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

それぞれの分数を有理化します。

まず、$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $1-\sqrt{3}$ を掛けます。

$$\frac{1}{1+\sqrt{3}} = \frac{1(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{1-\sqrt{3}}{1-3} = \frac{1-\sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

次に、$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{3}-\sqrt{5}$ を掛けます。

$$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{1(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3-5} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$$

したがって、

$$\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$