自然数 $N$ を4進法で表すと $3a1_{(4)}$ となり、6進法で表すと $1b3_{(6)}$ となる。$a, b$ を求め、$N$ を10進法で表せ。

1. 問題の内容

自然数 $N$ を4進法で表すと $3a1_{(4)}$ となり、6進法で表すと $1b3_{(6)}$ となる。$a, b$ を求め、$N$ を10進法で表せ。

2. 解き方の手順

まず、$N$ を4進法と6進法で表した式を10進法に変換します。

$N = 3 \times 4^2 + a \times 4^1 + 1 \times 4^0 = 48 + 4a + 1 = 4a + 49$

$N = 1 \times 6^2 + b \times 6^1 + 3 \times 6^0 = 36 + 6b + 3 = 6b + 39$

これら2つの式が等しいので、

$4a + 49 = 6b + 39$

$4a = 6b - 10$

$2a = 3b - 5$

$a, b$ はそれぞれ4進法、6進法の数字なので、$0 \le a \le 3$、$0 \le b \le 5$ を満たす整数です。

$2a = 3b - 5$ より、$3b - 5$ は偶数なので、$3b$ は奇数である必要があります。したがって、$b$ は奇数です。

$b$ が奇数なので、$b$ は 1, 3, 5 のいずれかになります。

- $b=1$ のとき、$2a = 3(1) - 5 = -2$ より $a = -1$ となり、$0 \le a \le 3$ を満たさない。

- $b=3$ のとき、$2a = 3(3) - 5 = 4$ より $a = 2$ となり、$0 \le a \le 3$ を満たす。

- $b=5$ のとき、$2a = 3(5) - 5 = 10$ より $a = 5$ となり、$0 \le a \le 3$ を満たさない。

したがって、$a = 2$、$b = 3$ です。

このとき、$N = 4a + 49 = 4(2) + 49 = 8 + 49 = 57$

また、$N = 6b + 39 = 6(3) + 39 = 18 + 39 = 57$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 3$, $N = 57$