$n$ を自然数とするとき、$\sqrt{84n}$ が自然数となるような $n$ の値のうち、最も小さいものを求めます。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$\sqrt{84n}$ が自然数となるような $n$ の値のうち、最も小さいものを求めます。

2. 解き方の手順

$\sqrt{84n}$ が自然数となるためには、$84n$ が平方数である必要があります。

まず、84を素因数分解します。

$84 = 2^2 \times 3 \times 7$

したがって、

$\sqrt{84n} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 7 \times n}$

$\sqrt{84n}$ が自然数となるためには、$3 \times 7 \times n$ が平方数になる必要があります。つまり、$n$ は $3 \times 7$ を因数に持つ必要があります。

したがって、$n = 3 \times 7 \times k^2$ （$k$は自然数）という形になります。

$n$ が最も小さい自然数となるのは、$k=1$ のときです。

$n = 3 \times 7 \times 1^2 = 21$

このとき、

$\sqrt{84n} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 7 \times 3 \times 7} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 7^2} = 2 \times 3 \times 7 = 42$

となり、自然数になります。

3. 最終的な答え

21