父、母、4人の子供の合計6人が手をつないで輪を作るとき、次の条件を満たす場合の数を求める問題です。 (1) 父、母、子供の区別なく輪を作る。 (2) 父と母が隣り合って輪を作る。 (3) 父と母が向かい合って輪を作る。 (4) 父と母の間にちょうど1人子供が入って輪を作る。

1. 問題の内容

父、母、4人の子供の合計6人が手をつないで輪を作るとき、次の条件を満たす場合の数を求める問題です。

(1) 父、母、子供の区別なく輪を作る。

(2) 父と母が隣り合って輪を作る。

(3) 父と母が向かい合って輪を作る。

(4) 父と母の間にちょうど1人子供が入って輪を作る。

2. 解き方の手順

(1) 6人が円形に並ぶ場合の数を求める問題です。円順列の公式 $(n-1)!$ を用います。

6人の円順列は $(6-1)! = 5! = 120$ 通り。

しかし、裏返すと同じ並びになる場合があるので、2で割ります。

$120 / 2 = 60$ 通り。

別解として、誰か一人を固定して、残りの5人の並び方を考えると、$5! = 120$通り。この問題では、区別がないので、裏返しを考慮して2で割る必要はありません。

(2) 父と母を1組として考え、残りの4人の子供と合わせて5組が円形に並ぶ場合の数を求めます。

5組の円順列は $(5-1)! = 4! = 24$ 通り。

父と母の並び方は2通りあるので、$24 \times 2 = 48$ 通り。

(3) 父の位置を固定し、母が向かい合う位置に並ぶようにします。残りの4人の子供の並び方は、4!通りです。

$4! = 24$ 通り。

(4) 父と母の間に1人の子供が入るように並ぶ場合の数を求めます。

まず、父と母の間に1人の子供を入れる子供を選びます。4人の子供の中から1人を選ぶので4通りです。

父、子供、母の順で並ぶか、母、子供、父の順で並ぶかの2通りがあります。

この3人を1組として考えると、残りの3人の子供と合わせて4組が円形に並ぶことになります。

4組の円順列は $(4-1)! = 3! = 6$ 通り。

したがって、$4 \times 2 \times 6 = 48$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 48通り

(3) 24通り

(4) 48通り