与えられた3つの数、$\sqrt[4]{32}$、$\sqrt[3]{16}$、$\sqrt{8}$ の大小関係を不等号を用いて表す。

1. 問題の内容

与えられた3つの数、$\sqrt[4]{32}$、$\sqrt[3]{16}$、$\sqrt{8}$ の大小関係を不等号を用いて表す。

2. 解き方の手順

これらの数を比較するために、すべて同じ指数を持つべき根の形に変換する。

まず、それぞれの数を2の累乗の形で表す。

$\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{2^5} = (2^5)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4}}$

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$

$\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

次に、指数 $\frac{5}{4}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}$ の最小公分母を見つける。4, 3, 2 の最小公倍数は12なので、分母を12にする。

$\frac{5}{4} = \frac{5 \times 3}{4 \times 3} = \frac{15}{12}$

$\frac{4}{3} = \frac{4 \times 4}{3 \times 4} = \frac{16}{12}$

$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 6}{2 \times 6} = \frac{18}{12}$

したがって、

$\sqrt[4]{32} = 2^{\frac{15}{12}}$

$\sqrt[3]{16} = 2^{\frac{16}{12}}$

$\sqrt{8} = 2^{\frac{18}{12}}$

底が2で1より大きいので、指数が大きいほど数も大きい。

したがって、$\frac{15}{12} < \frac{16}{12} < \frac{18}{12}$ なので、

$2^{\frac{15}{12}} < 2^{\frac{16}{12}} < 2^{\frac{18}{12}}$

つまり、$\sqrt[4]{32} < \sqrt[3]{16} < \sqrt{8}$

3. 最終的な答え

$\sqrt[4]{32} < \sqrt[3]{16} < \sqrt{8}$