カルノーサイクルという熱力学的なサイクルについて、高温熱源の温度を $T_h$ 、低温熱源の温度を $T_c$ とするとき、カルノーサイクルの熱効率 $e_C$ が、 $e_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}$ となることを証明する問題です。図3にはカルノーサイクルのP-V図が示されています。サイクルはA→B→C→D→Aの順に進みます。A→Bは等温膨張過程で、熱 $Q_{in}$ を受け取ります。B→Cは断熱膨張過程です。C→Dは等温圧縮過程で、熱 $Q_{out}$ を放出します。D→Aは断熱圧縮過程です。$W_{net}$ はサイクル全体で行われる正味の仕事です。

1. 問題の内容

カルノーサイクルという熱力学的なサイクルについて、高温熱源の温度を $T_h$ 、低温熱源の温度を $T_c$ とするとき、カルノーサイクルの熱効率 $e_C$ が、

$e_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}$

となることを証明する問題です。図3にはカルノーサイクルのP-V図が示されています。サイクルはA→B→C→D→Aの順に進みます。A→Bは等温膨張過程で、熱 $Q_{in}$ を受け取ります。B→Cは断熱膨張過程です。C→Dは等温圧縮過程で、熱 $Q_{out}$ を放出します。D→Aは断熱圧縮過程です。$W_{net}$ はサイクル全体で行われる正味の仕事です。

2. 解き方の手順

カルノーサイクルの熱効率を計算し、$e_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}$ となることを示します。

(1) 熱効率の定義

熱効率は、得られた仕事と投入した熱量の比で定義されます。

$e_C = \frac{W_{net}}{Q_{in}}$

正味の仕事は、投入した熱量から放出した熱量を引いたものです。

$W_{net} = Q_{in} - Q_{out}$

したがって、熱効率は、

$e_C = \frac{Q_{in} - Q_{out}}{Q_{in}} = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}}$

(2) 等温過程における熱量

A→BとC→Dは等温過程なので、$Q = nRT \ln(\frac{V_2}{V_1})$を使って計算します。

ここで、$n$はモル数、$R$は気体定数、$T$は絶対温度、$V_1$と$V_2$はそれぞれ初期体積と最終体積です。

A→Bの等温膨張過程では、高温熱源$T_h$から熱$Q_{in}$を受け取ります。

$Q_{in} = nRT_h \ln(\frac{V_B}{V_A})$

C→Dの等温圧縮過程では、低温熱源$T_c$に熱$Q_{out}$を放出します。

$Q_{out} = nRT_c \ln(\frac{V_C}{V_D})$

(3) 断熱過程の関係

B→CとD→Aは断熱過程なので、$TV^{\gamma-1} = \text{constant}$を使います。ここで$\gamma$は断熱指数です。

B→Cの断熱膨張過程では、

$T_h V_B^{\gamma-1} = T_c V_C^{\gamma-1}$

D→Aの断熱圧縮過程では、

$T_c V_D^{\gamma-1} = T_h V_A^{\gamma-1}$

これらの式から、

$\frac{V_B}{V_A} = \frac{V_C}{V_D}$

$\ln(\frac{V_B}{V_A}) = \ln(\frac{V_C}{V_D})$

(4) 熱効率の計算

$\frac{Q_{out}}{Q_{in}} = \frac{nRT_c \ln(\frac{V_C}{V_D})}{nRT_h \ln(\frac{V_B}{V_A})} = \frac{T_c}{T_h}$

したがって、

$e_C = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}} = 1 - \frac{T_c}{T_h}$

3. 最終的な答え

カルノーサイクルの熱効率は、

$e_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}$

となります。