流速 $1 \text{ cm/s}$ の一様流中に直径 $3 \text{ cm}$ の円柱が置かれている。この時のレイノルズ数を計算し、カルマン渦が発生しているか判断する。空気の密度は $1.205 \text{ kg/m}^3$、粘性係数は $1.80 \times 10^{-5} \text{ Pa} \cdot \text{s}$ とする。

## 問題-a

1. 問題の内容

流速 $1 \text{ cm/s}$ の一様流中に直径 $3 \text{ cm}$ の円柱が置かれている。この時のレイノルズ数を計算し、カルマン渦が発生しているか判断する。空気の密度は $1.205 \text{ kg/m}^3$、粘性係数は $1.80 \times 10^{-5} \text{ Pa} \cdot \text{s}$ とする。

2. 解き方の手順

レイノルズ数は以下の式で計算される。

$Re = \frac{\rho v L}{\mu}$

ここで、

$\rho$: 密度

$v$: 流速

$L$: 代表長さ（ここでは円柱の直径）

$\mu$: 粘性係数

単位をSI単位に変換する。

$v = 1 \text{ cm/s} = 0.01 \text{ m/s}$

$L = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$

与えられた値を代入してレイノルズ数を計算する。

$Re = \frac{1.205 \text{ kg/m}^3 \times 0.01 \text{ m/s} \times 0.03 \text{ m}}{1.80 \times 10^{-5} \text{ Pa} \cdot \text{s}} = \frac{3.615 \times 10^{-4}}{1.80 \times 10^{-5}} \approx 20.08$

レイノルズ数が約40以上でカルマン渦が発生するため、今回は発生しないと判断できる。

3. 最終的な答え

レイノルズ数: 約20.08

カルマン渦: 発生しない

## 問題-b

1. 問題の内容

粘性流体が壁に沿って定常的に一方向に流れている。壁面から $1 \text{ mm}$ の位置での流速が $1 \text{ m/s}$ である。壁面から $1 \text{ mm}$ 離れた位置までの速度勾配が一定であるとし、この付近における粘性応力をニュートンの粘性法則により求める。粘性係数は $1 \times 10^{-3} \text{ Pa} \cdot \text{s}$ である。

2. 解き方の手順

ニュートンの粘性法則は以下のように表される。

$\tau = \mu \frac{du}{dy}$

ここで、

$\tau$: 粘性応力

$\mu$: 粘性係数

$\frac{du}{dy}$: 速度勾配

速度勾配 $\frac{du}{dy}$ は、壁面から $1 \text{ mm}$ の位置までの流速の変化を距離で割ることで求められる。壁面での流速は0なので、

$\frac{du}{dy} = \frac{1 \text{ m/s} - 0 \text{ m/s}}{1 \times 10^{-3} \text{ m}} = 1000 \text{ s}^{-1}$

与えられた値を代入して粘性応力を計算する。

$\tau = 1 \times 10^{-3} \text{ Pa} \cdot \text{s} \times 1000 \text{ s}^{-1} = 1 \text{ Pa}$

3. 最終的な答え

粘性応力: $1 \text{ Pa}$

## 問題-c

1. 問題の内容

内径 $50 \text{ cm}$ の円管内を空気が平均流速 $10 \text{ m/s}$ で流れている。この時のレイノルズ数を計算する。空気の密度は $1.205 \text{ kg/m}^3$、粘性係数は $1.80 \times 10^{-5} \text{ Pa} \cdot \text{s}$ である。

次に、内径 $5 \text{ cm}$ の円管に水を流し、空気と同じレイノルズ数の流れを実現するために必要な水の平均流速を計算する。水の密度は $1000 \text{ kg/m}^3$、粘性係数は $1.002 \times 10^{-3} \text{ Pa} \cdot \text{s}$ である。

2. 解き方の手順

まず、空気のレイノルズ数を計算する。

$Re = \frac{\rho v D}{\mu}$

ここで、

$\rho$: 密度

$v$: 流速

$D$: 代表長さ（ここでは円管の内径）

$\mu$: 粘性係数

単位をSI単位に変換する。

$D = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$

与えられた値を代入してレイノルズ数を計算する。

$Re_{air} = \frac{1.205 \text{ kg/m}^3 \times 10 \text{ m/s} \times 0.5 \text{ m}}{1.80 \times 10^{-5} \text{ Pa} \cdot \text{s}} = \frac{6.025}{1.80 \times 10^{-5}} \approx 334722.22$

次に、水のレイノルズ数が空気のレイノルズ数と同じになるように、水の平均流速 $v_{water}$ を求める。

$D_{water} = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$

$Re_{water} = \frac{\rho_{water} v_{water} D_{water}}{\mu_{water}} = Re_{air}$

$v_{water} = \frac{Re_{air} \mu_{water}}{\rho_{water} D_{water}}$

$v_{water} = \frac{334722.22 \times 1.002 \times 10^{-3} \text{ Pa} \cdot \text{s}}{1000 \text{ kg/m}^3 \times 0.05 \text{ m}} = \frac{335.39166}{50} \approx 6.7078 \text{ m/s}$

3. 最終的な答え

空気のレイノルズ数: 約 334722.22

水の平均流速: 約 6.7078 m/s