ある店で1個100円のりんごが1日に200個売れている。りんご1個の販売価格を1円安くするごとに、1日に売れるりんごの個数が4個ずつ増加する。1日のりんごの売上金額が最大となるのは、りんご1個の販売価格を何円にしたときか求める。

1. 問題の内容

ある店で1個100円のりんごが1日に200個売れている。りんご1個の販売価格を1円安くするごとに、1日に売れるりんごの個数が4個ずつ増加する。1日のりんごの売上金額が最大となるのは、りんご1個の販売価格を何円にしたときか求める。

2. 解き方の手順

* りんごの販売価格を $x$ 円とする。

* 販売価格を $100 - x$ 円安くすると、売れる個数は $200 + 4x$ 個になる。

* 1日の売上金額 $S$ は、

$S = x(200 + 4(100-x))$

となります。

* $S$ を $x$ の関数として表すと、$S = x(200 + 4(100-x))= x(200 + 400 - 4x) = x(600 - 4x) = 600x - 4x^2$となります。

* $S$ が最大となる $x$ を求めるために、$S$ を微分します。

$\frac{dS}{dx} = 600 - 8x$

* $\frac{dS}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$600 - 8x = 0$

$8x = 600$

$x = \frac{600}{8} = 75$

* 売上高が最大になるのは、りんご１個の販売価格を $75$ 円にしたときです。

3. 最終的な答え

75