質量1.0kgの物体が、初速度14m/sで粗い水平面上を10m滑った後、滑らかな曲面に移動する。水平面と物体の間の動摩擦係数は0.50、重力加速度は9.8m/s²である。 (1) 水平面上で動摩擦力が物体にした仕事を求める。 (2) 水平面を滑りきった後の力学的エネルギーを求める。 (3) 物体が曲面上をどれだけの高さまで上がるか求める。

1. 問題の内容

質量1.0kgの物体が、初速度14m/sで粗い水平面上を10m滑った後、滑らかな曲面に移動する。水平面と物体の間の動摩擦係数は0.50、重力加速度は9.8m/s²である。

(1) 水平面上で動摩擦力が物体にした仕事を求める。

(2) 水平面を滑りきった後の力学的エネルギーを求める。

(3) 物体が曲面上をどれだけの高さまで上がるか求める。

2. 解き方の手順

(1) 水平面上での動摩擦力による仕事

動摩擦力$F_k$は、$F_k = \mu_k N$で与えられる。ここで、$\mu_k$は動摩擦係数、Nは垂直抗力である。水平面では$N = mg$ (mは質量、gは重力加速度)となる。

動摩擦力の大きさは、$F_k = \mu_k mg = 0.50 \times 1.0 \times 9.8 = 4.9 N$となる。

動摩擦力がした仕事$W$は、$W = -F_k d$で与えられる。ここで、$d$は移動距離である。動摩擦力は運動方向と逆向きに働くので、仕事は負となる。

よって、$W = -4.9 \times 10 = -49 J$

(2) 水平面を滑りきった後の力学的エネルギー

初めの力学的エネルギー$E_0$は、運動エネルギーのみであり、$E_0 = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 14^2 = 98 J$である。

動摩擦力によって失われたエネルギーは、$49 J$であるので、水平面を滑りきった後の力学的エネルギー$E_1$は、$E_1 = E_0 + W = 98 - 49 = 49 J$となる。

(3) 曲面上を上がる高さ

曲面は滑らかであるため、力学的エネルギーが保存される。物体が高さ$h$まで上がったとき、運動エネルギーは0になり、位置エネルギーは$mgh$となる。

$mgh = E_1$より、$h = \frac{E_1}{mg} = \frac{49}{1.0 \times 9.8} = 5.0 m$

3. 最終的な答え

(1) 水平面上をすべったとき、物体が動摩擦力からされた仕事は、-49 J。

(2) 粗い水平面を滑りきったとき、力学的エネルギーは、49 J。

(3) 物体は曲面を5.0 mの高さまで上る。