直径 $d = 9.0 \text{ cm}$ の水平で滑らかな円管内をオイルが流れている。円管内には $1 \text{ kPa/m}$ の圧力勾配があり、ポアズイユ流れであると仮定して、管路断面の中心における流速を求める。ただし、オイルの粘度は $\mu = 8.8 \times 10^{-2} \text{ Pa} \cdot \text{s}$、比重は $s = 0.91$ とする。

1. 問題の内容

直径 $d = 9.0 \text{ cm}$ の水平で滑らかな円管内をオイルが流れている。円管内には $1 \text{ kPa/m}$ の圧力勾配があり、ポアズイユ流れであると仮定して、管路断面の中心における流速を求める。ただし、オイルの粘度は $\mu = 8.8 \times 10^{-2} \text{ Pa} \cdot \text{s}$、比重は $s = 0.91$ とする。

2. 解き方の手順

ポアズイユ流れにおける流速分布は、以下の式で与えられます。

$u(r) = \frac{1}{4\mu} \left( - \frac{dp}{dx} \right) (R^2 - r^2)$

ここで、

* $u(r)$ は半径 $r$ における流速

* $\mu$ は流体の粘度

* $\frac{dp}{dx}$ は圧力勾配

* $R$ は管の半径

* $r$ は管の中心からの距離

問題文より、

* $d = 9.0 \text{ cm} = 0.09 \text{ m}$

* $R = \frac{d}{2} = \frac{0.09}{2} = 0.045 \text{ m}$

* $\frac{dp}{dx} = -1 \text{ kPa/m} = -1000 \text{ Pa/m}$ (圧力降下なので負)

* $\mu = 8.8 \times 10^{-2} \text{ Pa} \cdot \text{s}$

中心位置 $(r = 0)$ における流速 $u(0)$ を求めます。

$u(0) = \frac{1}{4 \mu} \left( - \frac{dp}{dx} \right) R^2$

これらの値を代入して計算します。

$u(0) = \frac{1}{4 \times 8.8 \times 10^{-2}} \times (1000) \times (0.045)^2$

$u(0) = \frac{1000 \times (0.045)^2}{4 \times 8.8 \times 10^{-2}} = \frac{1000 \times 0.002025}{0.352} = \frac{2.025}{0.352} \approx 5.753 \text{ m/s}$

3. 最終的な答え

管路断面の中心における流速は、約 $5.75 \text{ m/s}$ です。