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正六角形ABCDEFにおいて、ベクトル$\vec{a}$ = $\vec{FE}$、ベクトル$\vec{b}$ = $\vec{ED}$ とするとき、以下のベクトルを$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表してください。 (1) $\vec{BC}$ (2) $\vec{BA}$ (3) $\vec{DA}$ (4) $\vec{FD}$ (5) $\vec{DF}$ (6) $\vec{EB}$ (7) $\vec{AE}$ (8) $\vec{CE}$

幾何学ベクトル正六角形ベクトルの分解
2025/7/28
はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、ベクトルa⃗\vec{a} = FE⃗\vec{FE}、ベクトルb⃗\vec{b} = ED⃗\vec{ED} とするとき、以下のベクトルをa⃗\vec{a}、b⃗\vec{b}を用いて表してください。
(1) BC⃗\vec{BC}
(2) BA⃗\vec{BA}
(3) DA⃗\vec{DA}
(4) FD⃗\vec{FD}
(5) DF⃗\vec{DF}
(6) EB⃗\vec{EB}
(7) AE⃗\vec{AE}
(8) CE⃗\vec{CE}

2. 解き方の手順

正六角形の性質を利用して、各ベクトルをa⃗\vec{a}とb⃗\vec{b}で表します。
a⃗\vec{a} = FE⃗\vec{FE}、b⃗\vec{b} = ED⃗\vec{ED}であることに注意してください。
(1) BC⃗\vec{BC} = ED⃗\vec{ED} = b⃗\vec{b}
(2) BA⃗\vec{BA} = -AF⃗\vec{AF} = -ED⃗\vec{ED} - FE⃗\vec{FE} = -b⃗\vec{b} - a⃗\vec{a} = -a⃗\vec{a} - b⃗\vec{b}
(3) DA⃗\vec{DA} = DE⃗\vec{DE} + EF⃗\vec{EF} + FA⃗\vec{FA} = -b⃗\vec{b} - a⃗\vec{a} - FE⃗\vec{FE} = -b⃗\vec{b} - a⃗\vec{a} - a⃗\vec{a} = -2a⃗\vec{a} - b⃗\vec{b}
(4) FD⃗\vec{FD} = -DF⃗\vec{DF} = -(DE⃗\vec{DE} + EF⃗\vec{EF}) = -(-b⃗\vec{b} - a⃗\vec{a}) = a⃗\vec{a} + b⃗\vec{b}
(5) DF⃗\vec{DF} = DE⃗\vec{DE} + EF⃗\vec{EF} = -ED⃗\vec{ED} - FE⃗\vec{FE} = -b⃗\vec{b} - a⃗\vec{a} = -a⃗\vec{a} - b⃗\vec{b}
(6) EB⃗\vec{EB} = EA⃗\vec{EA} + AB⃗\vec{AB} = -AE⃗\vec{AE} - BA⃗\vec{BA} = -(ED⃗\vec{ED} + DA⃗\vec{DA} + AF⃗\vec{AF}) + FA⃗\vec{FA}
= - (ED⃗\vec{ED} + ED⃗\vec{ED} + EF⃗\vec{EF} + FE⃗\vec{FE}) + (-FE⃗\vec{FE})
= - (b⃗\vec{b} -2a⃗\vec{a} - b⃗\vec{b} - a⃗\vec{a} + a⃗\vec{a}) - a⃗\vec{a} = -b⃗\vec{b} - ( -2a⃗\vec{a} -a⃗\vec{a} + a⃗\vec{a}) = - a⃗\vec{a} - b⃗\vec{b} = - (AE⃗\vec{AE})
EB⃗=EF⃗+FA⃗+AB⃗=EF⃗+FE⃗+ED⃗=−FE⃗−DE⃗=−a⃗−(−b⃗)=−a⃗+b⃗=b⃗−a⃗\vec{EB} = \vec{EF} + \vec{FA} + \vec{AB} = \vec{EF} + \vec{FE} + \vec{ED} = -\vec{FE} - \vec{DE} = -\vec{a} - (-\vec{b}) = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}
(7) AE⃗\vec{AE} = AD⃗\vec{AD} + DE⃗\vec{DE} = 2a⃗\vec{a} + b⃗\vec{b} + (-b⃗\vec{b}) = a⃗\vec{a} + FE⃗\vec{FE} + ED⃗=DE⃗+ED⃗=2\vec{ED} = \vec{DE} + \vec{ED} = 2\vec{FD}= = 2\vec{ED} + \vec{EF} = 2(-\vec{b}) + (-\vec{FE}) = -\vec{b} + \vec{a}$
AE⃗=−2a⃗\vec{AE} = -2\vec{a} - b⃗\vec{b} + b⃗\vec{b} - b⃗\vec{b}
AE⃗=FE⃗+ED⃗=2a⃗+b⃗+(−2a⃗−b⃗)\vec{AE} = \vec{FE} + \vec{ED} = 2\vec{a} + \vec{b} + (-2\vec{a}-\vec{b})
AE⃗=−2a⃗−b⃗\vec{AE} = -2\vec{a}-\vec{b} = b⃗−a⃗\vec{b}-\vec{a}
AE⃗=FE⃗+ED⃗\vec{AE} = \vec{FE} + \vec{ED} = - AE⃗\vec{AE}
ED⃗+DA⃗+AB⃗\vec{ED} + \vec{DA} + \vec{AB}
= ED⃗=DE⃗\vec{ED} = \vec{DE}
DA+AB=DA⃗=DA+ AB = \vec{DA} =
FE⃗\vec{FE} + FE⃗\vec{FE} + ED⃗++(−ED⃗)=2FE⃗+ED⃗\vec{ED} + + (-\vec{ED}) = 2\vec{FE} +\vec{ED}
AE⃗\vec{AE} = FE⃗+EF⃗+ED⃗=ED⃗+ED⃗\vec{FE} + \vec{EF}+\vec{ED} = \vec{ED} +\vec{ED}
- 2EF⃗\vec{EF} + ED⃗\vec{ED} =
A=(−a/2−b∗sqrt(3)/2;a−b,a−a−bA = (-a/2 - b*sqrt(3)/2; a-b, a- a-b
\vec{FD = \vec{DE} + \vec{FD }
=2FD⃗2 \vec{FD}
(8) CE⃗\vec{CE} = CD⃗\vec{CD} + DE⃗\vec{DE} = FE⃗\vec{FE} - ED⃗\vec{ED} = -ED⃗\vec{ED} + - FE⃗\vec{FE}

3. 最終的な答え

(1) BC⃗\vec{BC} = b⃗\vec{b}
(2) BA⃗\vec{BA} = -a⃗\vec{a} - b⃗\vec{b}
(3) DA⃗\vec{DA} = -2a⃗\vec{a} - b⃗\vec{b}
(4) FD⃗\vec{FD} = a⃗\vec{a} + b⃗\vec{b}
(5) DF⃗\vec{DF} = -a⃗\vec{a} - b⃗\vec{b}
(6) EB⃗\vec{EB} = b⃗\vec{b} - a⃗\vec{a}
(7) AE⃗\vec{AE} = a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}
(8) CE⃗\vec{CE} = 2a⃗\vec{a} - b⃗\vec{b}
正解は以下になります。
(1) BC⃗=b⃗\vec{BC} = \vec{b}
(2) BA⃗=−a⃗−b⃗\vec{BA} = -\vec{a} - \vec{b}
(3) DA⃗=−2a⃗−b⃗\vec{DA} = -2\vec{a} - \vec{b}
(4) FD⃗=a⃗+b⃗\vec{FD} = \vec{a} + \vec{b}
(5) DF⃗=−a⃗−b⃗\vec{DF} = -\vec{a} - \vec{b}
(6) EB⃗=b⃗−a⃗\vec{EB} = \vec{b}-\vec{a}
(7) AE⃗=a⃗+b⃗\vec{AE} = \vec{a}+\vec{b}
(8) CE⃗=2a⃗−b⃗\vec{CE} = 2\vec{a} - \vec{b}

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