直線 $y = 4x$ 上の点Aと直線 $y = \frac{1}{2}x$ 上の点Cを頂点にもつ正方形ABCDがある。点Aと点Cのx座標は正で、辺ABがy軸と平行である。(1) 点Aのy座標が8であるとき、① 点Aのx座標を求めよ。② 2点A, Cを通る直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = 4x$ 上の点Aと直線 $y = \frac{1}{2}x$ 上の点Cを頂点にもつ正方形ABCDがある。点Aと点Cのx座標は正で、辺ABがy軸と平行である。(1) 点Aのy座標が8であるとき、① 点Aのx座標を求めよ。② 2点A, Cを通る直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ① 点Aのy座標が8であるとき、点Aは直線 $y = 4x$ 上にあるので、$y = 8$ を代入してx座標を求める。

$8 = 4x$

$x = \frac{8}{4} = 2$

したがって、点Aのx座標は2である。

(1) ② 点Aの座標は(2, 8)である。正方形ABCDの辺ABはy軸に平行なので、点Bのx座標も2である。また、点Aと点Bのy座標の差は正方形の一辺の長さに等しい。

点Aのx座標は2なので、点Cのx座標を $c$ とすると、正方形の一辺の長さは $c - 2$ である。したがって、点Bのy座標は $8 - (c - 2) = 10 - c$ となる。

点Cは直線 $y = \frac{1}{2}x$ 上にあるので、点Cのy座標は $\frac{1}{2}c$ である。

正方形の一辺の長さは $c-2$ なので、点Aのy座標と点Cのy座標の差は $c-2$ となる。

したがって、 $8 - \frac{1}{2}c = c - 2$ となる。

$\frac{3}{2}c = 10$

$c = \frac{20}{3}$

したがって、点Cの座標は $(\frac{20}{3}, \frac{10}{3})$ である。

2点A(2, 8)とC($\frac{20}{3}, \frac{10}{3}$)を通る直線の式を $y = ax + b$ とすると、

$8 = 2a + b$

$\frac{10}{3} = \frac{20}{3}a + b$

2式を引き算すると、

$8 - \frac{10}{3} = 2a - \frac{20}{3}a$

$\frac{24-10}{3} = \frac{6-20}{3}a$

$\frac{14}{3} = -\frac{14}{3}a$

$a = -1$

$8 = 2(-1) + b$

$8 = -2 + b$

$b = 10$

したがって、2点A, Cを通る直線の式は $y = -x + 10$ である。

3. 最終的な答え

(1) ① 点Aのx座標: 2

(1) ② 2点A, Cを通る直線の式: $y = -x + 10$