競争市場において、各企業の総費用 $TC$、限界費用 $MC$、および需要曲線 $P$ が与えられています。具体的には、 $TC = 5 + q + \frac{1}{2}q^2$ $MC = 1 + q$ $P = 10 - Q$ ここで、$q$ は個々の企業の生産量、$Q$ は市場全体の生産量、$P$ は価格です。現在5社の企業が参入している状況で、 (1) 短期の均衡価格を求め、 (2) 短期均衡における各社の利潤を求め、 (3) 参入と退出が自由な長期均衡において、何社の企業が参入しているかを求める問題です。

1. 問題の内容

競争市場において、各企業の総費用 $TC$、限界費用 $MC$、および需要曲線 $P$ が与えられています。具体的には、

$TC = 5 + q + \frac{1}{2}q^2$

$MC = 1 + q$

$P = 10 - Q$

ここで、$q$ は個々の企業の生産量、$Q$ は市場全体の生産量、$P$ は価格です。現在5社の企業が参入している状況で、

(1) 短期の均衡価格を求め、

(2) 短期均衡における各社の利潤を求め、

(3) 参入と退出が自由な長期均衡において、何社の企業が参入しているかを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 短期の均衡価格を求める手順：

市場全体の生産量 $Q$ は、各企業の生産量 $q$ の合計です。現在5社が参入しているので、$Q = 5q$ となります。

競争市場では、各企業は価格受容者であり、限界費用 $MC$ と価格 $P$ が等しくなるように生産量を決定します。

つまり、$MC = P$ を満たす $q$ を求めます。

需要曲線 $P = 10 - Q$ に $Q = 5q$ を代入すると、$P = 10 - 5q$ となります。

$MC = P$ より、$1 + q = 10 - 5q$ を解きます。

$6q = 9$

$q = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

市場全体の生産量 $Q = 5q = 5 \times 1.5 = 7.5$

均衡価格 $P = 10 - Q = 10 - 7.5 = 2.5$

(2) 短期均衡における各社の利潤を求める手順：

利潤 $\pi$ は、収入 $Pq$ から総費用 $TC$ を引いたものです。

$\pi = Pq - TC = 2.5q - (5 + q + \frac{1}{2}q^2)$

$q = 1.5$ を代入すると、

$\pi = 2.5(1.5) - (5 + 1.5 + \frac{1}{2}(1.5)^2) = 3.75 - (5 + 1.5 + 1.125) = 3.75 - 7.625 = -3.875$

(3) 長期均衡における企業の数を求める手順：

長期均衡では、企業の利潤はゼロになります。つまり、$Pq - TC = 0$ を満たす $q$ が存在します。

また、長期均衡では、価格 $P$ は平均費用 $AC$ と等しくなります。

$AC = \frac{TC}{q} = \frac{5}{q} + 1 + \frac{1}{2}q$

$P = AC$ となる $q$ を求めます。また $P = MC$であるから、$MC = AC$を満たす$q$を探します。

$1+q = \frac{5}{q}+1+\frac{1}{2}q$

$q = \frac{5}{q} + \frac{1}{2}q$

$\frac{1}{2}q = \frac{5}{q}$

$\frac{1}{2}q^2 = 5$

$q^2 = 10$

$q = \sqrt{10} \approx 3.16$

このときの価格は、$P = 1 + q = 1 + \sqrt{10} \approx 4.16$

市場全体の需要 $Q = \frac{10 - P = 10 - (1 + \sqrt{10}) = 9 - \sqrt{10} \approx 5.84}{\text{}}$.

企業の数を $n$ とすると、$Q = nq$ より、$n = \frac{Q}{q} = \frac{9 - \sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{9}{\sqrt{10}} - 1 = \frac{9\sqrt{10}}{10}-1 \approx 1.84$

$n = \frac{5.84}{3.16} \approx 1.85$.

3. 最終的な答え

(1) 短期の均衡価格：$2.5$

(2) 短期均衡における各社の利潤：$-3.875$

(3) 長期均衡における企業の数：$\frac{9\sqrt{10}}{10}-1$ $\approx 1.84$ 社