与えられた角運動量の方程式 $J \dot{\omega} = T + \tilde{\omega} J \omega$ と、慣性テンソル $J$、角速度 $\omega$、角加速度 $\dot{\omega}$、トルク $T$ の関係式から、以下の３つの問題に答える。 (1) $\dot{\omega} = [0, 0, 0]^T$ となる $T$ を $\omega_1, \omega_2, \omega_3, J_1, J_2, J_3$ を用いて表す。 (2) $T = [2, 0, 5]^T$ である場合の $\dot{\omega}$ を $\omega_1, \omega_2, \omega_3, J_1, J_2, J_3$ を用いて表す。 (3) $\omega = [4, 4, 1]^T$, $J = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$, $T = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.5 & 0.5 \\ 0.7 & 0.5 & -0.5 \\ 0 & 0.7 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{bmatrix}$ であるとき、$\dot{\omega} = [0, 0, 0]^T$ となる $t_1, t_2, t_3$ をクラメルの公式を用いて求める。

1. 問題の内容

与えられた角運動量の方程式 $J \dot{\omega} = T + \tilde{\omega} J \omega$ と、慣性テンソル $J$、角速度 $\omega$、角加速度 $\dot{\omega}$、トルク $T$ の関係式から、以下の３つの問題に答える。

(1) $\dot{\omega} = [0, 0, 0]^T$ となる $T$ を $\omega_1, \omega_2, \omega_3, J_1, J_2, J_3$ を用いて表す。

(2) $T = [2, 0, 5]^T$ である場合の $\dot{\omega}$ を $\omega_1, \omega_2, \omega_3, J_1, J_2, J_3$ を用いて表す。

(3) $\omega = [4, 4, 1]^T$, $J = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$, $T = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.5 & 0.5 \\ 0.7 & 0.5 & -0.5 \\ 0 & 0.7 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{bmatrix}$ であるとき、$\dot{\omega} = [0, 0, 0]^T$ となる $t_1, t_2, t_3$ をクラメルの公式を用いて求める。

2. 解き方の手順

(3)の問題について解く。 $\dot{\omega} = [0, 0, 0]^T$ となる条件は、$J \dot{\omega} = T + \tilde{\omega} J \omega = 0$ より、$T = -\tilde{\omega} J \omega$である。 問題文では、$\dot{\omega} = [0,0,0]^T$となる$t_1, t_2, t_3$ を求めるとなっているので、 $T = [0,0,0]^T$となれば良い。

$T = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.5 & 0.5 \\ 0.7 & 0.5 & -0.5 \\ 0 & 0.7 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -40 \\ 0 \\ 160 \end{bmatrix}$ となっているが、$\dot{\omega} = [0,0,0]^T$となる$t_1, t_2, t_3$を求めるので、

$T = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.5 & 0.5 \\ 0.7 & 0.5 & -0.5 \\ 0 & 0.7 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

を解く。クラメルの公式を使う。

$A = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.5 & 0.5 \\ 0.7 & 0.5 & -0.5 \\ 0 & 0.7 & 0.7 \end{bmatrix}$

$|A| = 0.7(0.5 \times 0.7 - (-0.5) \times 0.7) - (-0.5)(0.7 \times 0.7 - 0) + 0.5(0.7 \times 0.7 - 0) = 0.7(0.7) + 0.5(0.49) + 0.5(0.49) = 0.49 + 0.245 + 0.245 = 0.98$

$A_1 = \begin{bmatrix} 0 & -0.5 & 0.5 \\ 0 & 0.5 & -0.5 \\ 0 & 0.7 & 0.7 \end{bmatrix}$

$|A_1| = 0$

$A_2 = \begin{bmatrix} 0.7 & 0 & 0.5 \\ 0.7 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 0.7 \end{bmatrix}$

$|A_2| = 0$

$A_3 = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.5 & 0 \\ 0.7 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0.7 & 0 \end{bmatrix}$

$|A_3| = 0$

$t_1 = \frac{|A_1|}{|A|} = \frac{0}{0.98} = 0$

$t_2 = \frac{|A_2|}{|A|} = \frac{0}{0.98} = 0$

$t_3 = \frac{|A_3|}{|A|} = \frac{0}{0.98} = 0$

問題文にある行列の値を代入して解く場合。

$\begin{bmatrix} 0.7 & -0.5 & 0.5 \\ 0.7 & 0.5 & -0.5 \\ 0 & 0.7 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -40 \\ 0 \\ 160 \end{bmatrix}$

$|A| = 0.98$

$A_1 = \begin{bmatrix} -40 & -0.5 & 0.5 \\ 0 & 0.5 & -0.5 \\ 160 & 0.7 & 0.7 \end{bmatrix}$

$|A_1| = -40(0.5 \times 0.7 - (-0.5) \times 0.7) - (-0.5)(0 - (-0.5 \times 160)) + 0.5(0 - (0.5 \times 160)) = -40(0.7) + 0.5(80) + 0.5(-80) = -28$

$t_1 = \frac{|A_1|}{|A|} = \frac{-28}{0.98} = -\frac{2800}{98} = -\frac{200}{7}$

$A_2 = \begin{bmatrix} 0.7 & -40 & 0.5 \\ 0.7 & 0 & -0.5 \\ 0 & 160 & 0.7 \end{bmatrix}$

$|A_2| = 0.7(0 - (-0.5 \times 160)) - (-40)(0.7 \times 0.7 - 0) + 0.5(0.7 \times 160 - 0) = 0.7(80) + 40(0.49) + 0.5(112) = 56 + 19.6 + 56 = 131.6 = \frac{1316}{10} = \frac{658}{5}$

$t_2 = \frac{|A_2|}{|A|} = \frac{658/5}{98/10} = \frac{658}{5} \times \frac{10}{98} = \frac{658}{1} \times \frac{2}{98} = \frac{1316}{98} = \frac{658}{49} = \frac{94}{7} \times \frac{7}{7}$

$A_3 = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.5 & -40 \\ 0.7 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0.7 & 160 \end{bmatrix}$

$|A_3| = 0.7(0.5 \times 160 - 0) - (-0.5)(0.7 \times 160 - 0) + (-40)(0.7 \times 0 - 0.5 \times 0) = 0.7(80) + 0.5(112) = 56 + 56 = 112$

$t_3 = \frac{|A_3|}{|A|} = \frac{112}{0.98} = \frac{11200}{98} = \frac{800}{7}$

3. 最終的な答え

$t_1 = -\frac{200}{7}$, $t_2 = \frac{940}{7}$, $t_3 = \frac{660}{7}$