与えられた式 $J \dot{\omega} = T + \tilde{\omega} J \omega$ について、以下の3つの問題に答えます。ここで、$J$, $\omega$, $\dot{\omega}$, $T$, $\tilde{\omega}$ はそれぞれ与えられた行列とベクトルです。 (1) $\dot{\omega} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ となる $T$ を $\omega_1, \omega_2, \omega_3, J_1, J_2, J_3$ を用いて表します。 (2) $T = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix}$ である場合の $\dot{\omega}$ を $\omega_1, \omega_2, \omega_3, J_1, J_2, J_3$ を用いて表します。 (3) $\omega = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$, $J = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$, $T = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.5 & 0.5 \\ 0.7 & 0.5 & -0.5 \\ 0 & 0.7 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{bmatrix}$ であるとき、$\dot{\omega} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ となる $t_1, t_2, t_3$ をクラメルの公式を用いて求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $J \dot{\omega} = T + \tilde{\omega} J \omega$ について、以下の3つの問題に答えます。ここで、$J$, $\omega$, $\dot{\omega}$, $T$, $\tilde{\omega}$ はそれぞれ与えられた行列とベクトルです。

(1) $\dot{\omega} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ となる $T$ を $\omega_1, \omega_2, \omega_3, J_1, J_2, J_3$ を用いて表します。

(2) $T = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix}$ である場合の $\dot{\omega}$ を $\omega_1, \omega_2, \omega_3, J_1, J_2, J_3$ を用いて表します。

(3) $\omega = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$, $J = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$, $T = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.5 & 0.5 \\ 0.7 & 0.5 & -0.5 \\ 0 & 0.7 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{bmatrix}$ であるとき、$\dot{\omega} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ となる $t_1, t_2, t_3$ をクラメルの公式を用いて求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\dot{\omega} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ のとき、$J \dot{\omega} = 0$ なので、与えられた式は $0 = T + \tilde{\omega} J \omega$ となります。したがって、$T = - \tilde{\omega} J \omega$ を計算します。

$\tilde{\omega} = \begin{bmatrix} 0 & \omega_3 & -\omega_2 \\ -\omega_3 & 0 & \omega_1 \\ \omega_2 & -\omega_1 & 0 \end{bmatrix}$、

$J = \begin{bmatrix} J_1 & 0 & 0 \\ 0 & J_2 & 0 \\ 0 & 0 & J_3 \end{bmatrix}$、

$\omega = \begin{bmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{bmatrix}$

より、

$T = - \begin{bmatrix} 0 & \omega_3 & -\omega_2 \\ -\omega_3 & 0 & \omega_1 \\ \omega_2 & -\omega_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} J_1 & 0 & 0 \\ 0 & J_2 & 0 \\ 0 & 0 & J_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{bmatrix}$

$= - \begin{bmatrix} 0 & \omega_3 & -\omega_2 \\ -\omega_3 & 0 & \omega_1 \\ \omega_2 & -\omega_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} J_1 \omega_1 \\ J_2 \omega_2 \\ J_3 \omega_3 \end{bmatrix}$

$= - \begin{bmatrix} J_2 \omega_2 \omega_3 - J_3 \omega_2 \omega_3 \\ -J_1 \omega_1 \omega_3 + J_3 \omega_1 \omega_3 \\ J_1 \omega_1 \omega_2 - J_2 \omega_1 \omega_2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} (J_3 - J_2) \omega_2 \omega_3 \\ (J_1 - J_3) \omega_1 \omega_3 \\ (J_2 - J_1) \omega_1 \omega_2 \end{bmatrix}$

(2) $J \dot{\omega} = T + \tilde{\omega} J \omega$ より、$\dot{\omega} = J^{-1} (T + \tilde{\omega} J \omega)$ です。

$J^{-1} = \begin{bmatrix} 1/J_1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/J_2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/J_3 \end{bmatrix}$ であり、(1) より $\tilde{\omega} J \omega = \begin{bmatrix} (J_2 - J_3) \omega_2 \omega_3 \\ (J_3 - J_1) \omega_1 \omega_3 \\ (J_1 - J_2) \omega_1 \omega_2 \end{bmatrix}$ です。

$T = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix}$ なので、

$\dot{\omega} = \begin{bmatrix} 1/J_1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/J_2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/J_3 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} (J_2 - J_3) \omega_2 \omega_3 \\ (J_3 - J_1) \omega_1 \omega_3 \\ (J_1 - J_2) \omega_1 \omega_2 \end{bmatrix} \right)$

$= \begin{bmatrix} (2 + (J_2 - J_3) \omega_2 \omega_3) / J_1 \\ ((J_3 - J_1) \omega_1 \omega_3) / J_2 \\ (5 + (J_1 - J_2) \omega_1 \omega_2) / J_3 \end{bmatrix}$

(3) $\dot{\omega} = 0$ なので、$J \dot{\omega} = 0 = T + \tilde{\omega} J \omega$ です。

$\omega = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$, $J = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$ を代入すると、

$\tilde{\omega} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -4 \\ -1 & 0 & 4 \\ 4 & -4 & 0 \end{bmatrix}$

$J \omega = \begin{bmatrix} 40 \\ 80 \\ 10 \end{bmatrix}$

$\tilde{\omega} J \omega = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -4 \\ -1 & 0 & 4 \\ 4 & -4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 40 \\ 80 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 80 - 40 \\ -40 + 40 \\ 160 - 320 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 40 \\ 0 \\ -160 \end{bmatrix}$

よって、$T = - \tilde{\omega} J \omega = \begin{bmatrix} -40 \\ 0 \\ 160 \end{bmatrix}$ です。

$T = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.5 & 0.5 \\ 0.7 & 0.5 & -0.5 \\ 0 & 0.7 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -40 \\ 0 \\ 160 \end{bmatrix}$

この連立方程式を解きます。

$0.7t_1 - 0.5t_2 + 0.5t_3 = -40$

$0.7t_1 + 0.5t_2 - 0.5t_3 = 0$

$0.7t_2 + 0.7t_3 = 160$

クラメルの公式を用いるために、行列式を計算します。

$A = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.5 & 0.5 \\ 0.7 & 0.5 & -0.5 \\ 0 & 0.7 & 0.7 \end{bmatrix}$

$\det(A) = 0.7(0.5 \times 0.7 - (-0.5 \times 0.7)) - (-0.5)(0.7 \times 0.7 - 0) + 0.5(0.7 \times 0.7 - 0) = 0.7(0.7) + 0.5(0.49) + 0.5(0.49) = 0.49 + 0.245 + 0.245 = 0.98$

$t_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)}$, $t_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)}$, $t_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)}$

$A_1 = \begin{bmatrix} -40 & -0.5 & 0.5 \\ 0 & 0.5 & -0.5 \\ 160 & 0.7 & 0.7 \end{bmatrix}$

$\det(A_1) = -40(0.5 \times 0.7 - (-0.5 \times 0.7)) - (-0.5)(0 - (-0.5 \times 160)) + 0.5(0 - (0.5 \times 160)) = -40(0.7) + 0.5(-80) + 0.5(-80) = -28 - 40 - 40 = -108$

$t_1 = \frac{-108}{0.98} \approx -110.2$

$A_2 = \begin{bmatrix} 0.7 & -40 & 0.5 \\ 0.7 & 0 & -0.5 \\ 0 & 160 & 0.7 \end{bmatrix}$

$\det(A_2) = 0.7(0 - (-0.5 \times 160)) - (-40)(0.7 \times 0.7 - 0) + 0.5(0.7 \times 160 - 0) = 0.7(80) + 40(0.49) + 0.5(112) = 56 + 19.6 + 56 = 131.6$

$t_2 = \frac{131.6}{0.98} \approx 134.3$

$A_3 = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.5 & -40 \\ 0.7 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0.7 & 160 \end{bmatrix}$

$\det(A_3) = 0.7(0.5 \times 160 - 0) - (-0.5)(0.7 \times 160 - 0) + (-40)(0.7 \times 0.7 - 0) = 0.7(80) + 0.5(112) - 40(0.49) = 56 + 56 - 19.6 = 92.4$

$t_3 = \frac{92.4}{0.98} \approx 94.3$

連立方程式を解くことで、

$0.7 t_1 - 0.5 t_2 + 0.5 t_3 = -40$

$0.7 t_1 + 0.5 t_2 - 0.5 t_3 = 0$

$0.7 t_2 + 0.7 t_3 = 160$

足し合わせると $1.4 t_1 = -40$, よって $t_1 = -40/1.4 = -200/7 \approx -28.57$

$t_2 + t_3 = 160/0.7 = 1600/7$

$t_2 - t_3 = (0.7 t_1 + 0.5 t_2 - 0.5 t_3) - (0.7 t_1 - 0.5 t_2 + 0.5 t_3) = 0 - (-40) = 40$.

$2t_2 = 40 + \frac{1600}{7} = \frac{280 + 1600}{7} = \frac{1880}{7}$

$t_2 = \frac{940}{7} \approx 134.3$

$t_3 = \frac{1600}{7} - \frac{940}{7} = \frac{660}{7} \approx 94.3$

3. 最終的な答え

(1) $T = \begin{bmatrix} (J_3 - J_2) \omega_2 \omega_3 \\ (J_1 - J_3) \omega_1 \omega_3 \\ (J_2 - J_1) \omega_1 \omega_2 \end{bmatrix}$

(2) $\dot{\omega} = \begin{bmatrix} (2 + (J_2 - J_3) \omega_2 \omega_3) / J_1 \\ ((J_3 - J_1) \omega_1 \omega_3) / J_2 \\ (5 + (J_1 - J_2) \omega_1 \omega_2) / J_3 \end{bmatrix}$

(3) $t_1 = -200/7 \approx -28.57$, $t_2 = 940/7 \approx 134.3$, $t_3 = 660/7 \approx 94.3$